8. Жесткая верхняя граница

В этом разделе путем преобразования формулы (20) будут найдены формулы для верхней границы вероятности ошибки, справедливые при всех Определим сначала верхнюю границу для . В работе Девида и Крускала интеграл (35) преобразуется в умноженный на интеграл (в обозначениях указанной работы)

Отметим, что подинтегральное выражение может быть оценено сверху значением Это выясняется в абзаце указанной работы, содержащем равенство (26). Поэтому этот интеграл может быть оценен сверху через наш интеграл в выражении (34), содержащийся в оценивается сверху следующим выражением:

Имеем

Подстановка вместо этой большей величины дает

Теперь имеем

Заменяя Г-функцию ее стирлинговским приближением

(которое всегда меньше ее), а также подставляя вместо (где снова второе меньше первого), лишь увеличим правую часть неравенства. Поэтому

Заметим, что последняя оценка отличается от асимптотического выражения (42) лишь множителем

(так как Теперь может быть установлена жесткая верхняя граница для

Используем найденное для выражения верхней границы в интеграле. Коэффициент при в показателе

положителен и монотонно возрастает с ростом 0 при как было показано ранее. Его производная равна

На рис. 5 эта производная как функция 0 изображена в виде кривых, которые либо монотонно возрастают от при

до А при либо имеют единственный максимум. Во всех случаях кривые выпуклы вверх. Чтобы показать это аналитически, возьмем вторую производную от Она состоит из суммы отрицательных слагаемых.

Возвращаясь к нашей верхней границе видим, что коэффициент в выражении (63) не превышает

где и заменены на и -минимальные значения этих величин в рассматриваемых областях. Заменим теперь на

Если выбрано равным минимуму то такая замена приводит к возрастанию интеграла и, следовательно, дает верхнюю границу.

Рис. 5. как функция 0.

Из поведения видно, что этот минимум имеет место либо при либо при Поэтому имеем При такой замене интеграл превращается в простой экспоненциальный и его можно непосредственно вычислить.

Член имеет вид

Если вести интегрирование до бесконечности, вместо того чтобы остановиться на то лишняя часть даст добавку, с избытком компенсирующую Действительно, так что лишняя добавка составляет по меньшей мере

если интегрировать

до бесконечности, вместо того чтобы остановиться на Поскольку можно отбросить член компенсируя этим лишнюю добавку в интеграле.

Следовательно, можно ограничить следующим образом:

Чтобы ограничить сверху согласно выражению (3), необходимо найти верхнюю границу слагаемого

Это можно сделать методом, очень сходным с тем, который использовался для оценки Сначала ограничим сверху, используя выражение (21). Имеем

и окончательно

Здесь неравенство во второй строке получается из-за того, что первый интеграл в знаменателе второй строки преобразуется так же, как и числитель, а второй интеграл в знаменателе уменьшается сильнее, так как — убывающая функция. В последней строке знаменатель уменьшается еще больше из-за введения косинуса под знак интеграла.

Используя это неравенство, а также формулу верхней границы (63) для имеем

Вблизи точки подинтегральное выражение при больших ведет себя как экспонента (полагаем и поэтому имеет смысл искать жесткую верхнюю границу в форме

где не зависит от Это ведет, однако, к значительным трудностям, ввиду чего ограничимся следующими грубыми построениями.

Подинтегральная функция ограничена своим максимальным значением. Если то максимум подинтегрального выражения достигается по крайней мере при достаточно большом в точке В этом случае интеграл ограничен величиной

Полное выражение для может быть ограничено выражением (67) [оно получается прибавлением найденной оценки к границе (64) для

Необходимо помнить, что выражение (67) справедливо лишь в том случае, если достаточно велико для того, чтобы максимум рассмотренного выше подинтегрального выражения получался при 0. Можно также определить границы для опираясь на максимальное значение подинтегрального выражения.