6. Отображение пространства

Можно построить ряд заключений общего характера о способах модуляции, основываясь только на геометрических представлениях. С математической точки зрения простейшими отображениями являются те, в которых оба пространства имеют одинаковые числа измерений. Однополосная амплитудная модуляция является примером такого отображения, и притом особенно простым, так как

координаты в пространстве сигналов пропорциональны соответствующим координатам в пространстве сообщений. При передаче с обеими боковыми полосами пространство сигналов имеет вдвое большее число координат, но они встречаются парами с равными значениями. Если бы пространство сообщений было одномерным, а пространство сигналов двумерным, то это соответствовало бы отображению линии в квадрат, так что точка х на линии отображалась бы точкой в квадрате. Таким образом, увеличение числа измерений остается неиспользованным. Все сообщения размещаются в подпространстве, имеющем всего измерений.

При ЧМ отображение сложнее. Пространство сигналов имеет значительно большее число измерений, чем пространство сообщений. Характер отображения можно пояснить рис. 3, на котором линия отображается в трехмерное пространство.

Рис. 3. Отображение, сходное с ЧМ.

Линия начинается на единичном расстоянии от начала координат на первой оси, переходит, сохраняя это расстояние (т. е. по окружности), на вторую ось, а затем тем же порядком на третью. Легко видеть, что при таком отображении длина линии возрастает пропорционально общему числу координат. Однако ее длина не так велика, как если бы линия, делая петли в пространстве, заполнила весь объем сферы по которой она проходит.

Удлинение линии связано с увеличением отношения сигнал/шум при расширении полосы частот. Так как помеха создает небольшую область неопределенности около каждой точки, то влияние этого обстоятельства на принятое сообщение будет тем меньше, чем больше отображенный образ. Для увеличения образа требуется, чтобы линия переходила взад и вперед в пространстве большего числа измерений, как на рис. 4, на котором изображено отображение линии в квадрат. Нужно заметить, что при этом условии влияние помехи мало по сравнению с длиной линии, если только помеха меньше некоторого критического значения. При этом значении на

приемном конце возникает неуверенность в отношении того, к какой части линии относится сообщение. Это положение имеет общий характер; можно показать, что всякая система, стремящаяся к полному использованию возможностей, связанных с расширением полосы, будет при наличии помех подвержена пороговому эффекту. При малой помехе искажение будет незначительно, но при некотором критическом значении помехи искажение делается очень большим. Это хорошо известно для КИМ.

Предположим теперь, что требуется сократить число измерений, т. е. полосу частот, или время, или и то и другое.

Рис. 4. Эффективное преобразование линий в квадрат.

Иначе говоря, надо передать сообщения с полосой и длительностью по каналу, для которого Было отмечено, что действительное число измерений D пространства сообщений может быть меньше благодаря свойствам источника и получателя. Следовательно, не требуется, конечно, больше чем D измерений в пространстве сигналов для осуществления хорошего отображения. Чтобы получить эту экономию, нужно выделить эффективные координаты в пространстве сообщений и только их и передавать. Сокращение полосы при передаче речи посредством вокадера может служить примером такой системы.

Возникает вопрос о возможности дальнейшего сокращения. С точки зрения геометрической аналогии — возможно ли отобразить пространства большего числа измерений в пространство меньшего числа измерений? Ответ является, с некоторыми оговорками, положительным. Например, точки квадрата определяются двумя координатами, которые могут быть записаны в десятичной

форме как

Из этих двух чисел можно построить одно, беря цифры поочередно из х и у

По х и у определяем , обратно, определяет как х, так и у. Таким образом, здесь имеется однозначное соответствие между точками квадрата и точками на линии.

Этот тип отображений, принадлежащий математику Кантору, может быть легко расширен в направлении сколь угодно большого уменьшения числа измерений. Пространство измерений может быть взаимно однозначным образом отображено в одномерное. Физически это означает, что произведение полосы и длительности может быть при отсутствии помех сделано сколь угодно малым с сохранением возможности точного восстановления сообщения.

В менее точном смысле отображение, вроде показанного на рис. 4, отображает квадрат в линию, если не требуется точного восстановления начальной точки и мы удовлетворяемся некоторой близлежащей. Чувствительность при увеличении числа измерений, о которой говорилось выше, принимает теперь другой вид. При данном отображении, уменьшающем при изменении сообщения будет некоторый пороговый эффект. Малому изменению сообщения будет соответствовать малое изменение сигнала, пока не будет достигнуто критическое значение. В этой точке сигнал будет претерпевать значительное изменение. В топологии показывается, что область пространства большего числа измерений не может быть отображена в область пространства меньшего числа измерений непрерывно. Неизбежный разрыв непрерывности и обусловливает только что описанный нами пороговый эффект в системах связи.

Эти рассуждения связаны с известным «закон Хартли», устанавливающим, что «...верхняя граница могущего быть переданным количества информации определяется суммой произведений из полосы частот на время использования каналов для всех имеющихся в распоряжении линий». Это утверждение в одном смысле верно, а в другом нет. Взаимно однозначное и непрерывное отображение (известное в математике как топологическое отображение) пространства сообщений в пространство сигналов возможно лишь при условии, что число измерений обоих пространств одинаково, т. е. Следовательно, если ограничиться в передатчике

и приемнике однозначными непрерывными отображениями, то произведение для канала будет иметь нижнюю границу. Эта нижняя граница определяется не произведением. (длительности и полосы сообщения), а числом существенных измерений D, как указано в разд. 4. Однако нет достаточных оснований к тому, чтобы ограничиваться в передатчике и приемнике топологическими отображениями. Действительно, КИМ и другие подобные системы существенно разрывны и близко соответствуют отображениям вида (14) и (15). Желательно поэтому установить пределы того, что можно сделать без ограничения вида преобразований в приемнике и передатчике. Эти границы, определяемые в последующих разделах, зависят от величины и характера помехи в канале, от мощности передатчика, а также от произведения полосы частот и времени

Очевидно, что всякая система, увеличивающая или уменьшающая величину и полностью использующая дополнительный объем, должна быть существенно нелинейной и довольно сложной в зависимости от особенностей применяемых преобразований.