12. Нижняя граница для гауссовского канала, получаемая исходя из минимального расстояния

Пусть есть координата кодового слова в коде длины с М кодовыми словами. Будем полагать, что средняя мощность ограничена Р, так что

Положим также, что независимый гауссовский шум мощности действует аддитивным образом по всем координатам.

Вычислим средний квадрат расстояния между всеми парами точек в -мерном пространстве, соответствующих М кодовым

словам. Квадрат расстояния между словом и словом равен

Среднее значение по всем парам равно

Заметим, что каждое расстояние учитывается дважды в сумме, а также, что члены, содержащиеся в сумме, при дают вклад, равный нулю. Возведем в квадрат члены суммы

Здесь третья строка получена использованием неравенства (79) для средней мощности, а также того обстоятельства, что второй член во второй строке необходимо неположителен.

Если средний квадрат расстояния между парами точек меньше, чем

то должна существовать пара точек с расстоянием, удовлетворяющим этому неравенству. Каждая точка из этой пары используется с частотой Для разделения этой пары (если бы не было других точек) лучше всего будет служить гиперплоскость, перпендикулярная к середине отрезка, соединяющего эти точки. Каждая точка будет давать вклад в вероятность ошибки, равный вероятности того, что шум смещает точку на половину длины отрезка или еще больше. Таким образом, получаем, что вклад в вероятность ошибки составляет по меньшей мере

Этот вклад можно приписать первой из двух рассматриваемых точек. Найденная вероятность ошибки относится к случаю, когда послано

сообщение, соответствующее первой точке, а принятое сообщение находится ближе ко второй и поэтому декодируется как второе или как какое-либо другое сообщение.

Теперь выбросим первое сообщение из этой системы кодовых точек и рассмотрим оставшиеся (М — 1) точек. С помощью тех же доводов можно показать, что среди них существует пара точек, расстояние между которыми больше или равно

Такая пара дает вклад в вероятность ошибки, связанный с тем, что одна из точек, смещаясь, оказывается ближе к другой, чем к своему первоначальному положению. Этот вклад равен

Это рассуждение можно продолжать, последовательно вычеркивая точки и суммируя вклады в вероятность ошибки, пока не останутся только две точки. Таким образом, получим нижнюю границу в следующем виде:

Эту формулу можно несколько упростить, если учесть в ней лишь первые членов (или членов, если — нечетное). Так как члены убывают, сумма их только уменьшится, если все члены положить равными последнему. Таким образом, получаем нижнюю границу в виде

Для некоторой скорости передачи когда возрастает, член стремится к 1 и граница ведет себякак

Это асимптотически приближается к

Отсюда следует, что надежность Это то же самое, значение, что и нижняя граница для Е, когда