Аппроксимация множителей с помощью передаточных чисел

При подготовке дифференциального анализатора к решению задач часто бывает необходимо вводить постоянные множители. Это можно делать различными способами. Как указывалось, интегратор с заданной постоянной интегрируемой величиной выдает Второй метод состоит в том, чтобы получить грубое приближение с помощью шестерен с общим передаточным числом, например к. Другой набор шестерен используется для получения грубого приближения к значению . Переменная к X объединяется с через сумматор для получения приближения второго порядка к к. При единственном предположении, что имеется неограниченное число сумматоров и пар шестерен одного размера с передаточным числом легко показать, что, действуя таким образом, можно получить такое передаточное число что где — сколь угодно малое заданное положительное число. Третий способ получения передаточного числа состоит в использовании только шестерен. Покажем, что любое передаточное число может быть аппроксимировано с применением только конечного числа пар шестерен двух размеров. Точнее говоря, справедлива следующая теорема.

Теорема 12. Если даны два передаточных числа пар шестерен, ни одно из которых не равно ни нулю, ни единице, и если не является рациональной степенью числа а, то можно найти

такие положительные или отрицательные целые числа и и и, что где заданное произвольно малое число.

Без ограничения общности полагаем в противном случае изменение порядка шестерен в паре обеспечивает передаточное число Сначала покажем, что может быть получено такое передаточное число что при сколь угодно малом значении Для этого должны быть найдены такие целые числа х и у, что Так как то можно произвести логарифмирование по основанию а, сохраняя тот же порядок неравенств:

Так как — иррациональное число, то можно удовлетворить этому неравенству в силу известных теорем о диофантовом приближении. Таким образом, можно получить значение передаточного числа шестерен. Если наборы шестерен с передаточным числом последовательно связаны друг с другом раз, причем выбрано так, что

то разность между и меньше, чем а следовательно, сколь угодно мала.

Если — рациональная степень а, например где — несократимая дробь, то необходимое и достаточное условие возможности получить какое-либо передаточное число состоит в том, чтобы это число имело вид где — любое целое число. Прежде всего, любое передаточное число выражается как т. е. имеет указанный вид. Достаточность условия следует из того факта, что диофантово уравнение имеет решение в целых числах при любом целом если пит взаимно просты.