Системы уравнений

При анализе данной схемы удобно разбить различные переменные на два класса. Элементы, сопротивления которых управляются непосредственно источником, расположенным вне рассматриваемой схемы, будем называть независимыми переменными. К ним относятся ручные переключатели, контакты внешних реле и т. п. Реле и другие устройства, управляемые схемой, будем называть зависимыми переменными. Будем как правило, пользоваться первыми буквами алфавита для обозначения независимых переменных, а последними — для обозначения зависимых переменных. На рис. 7 зависимыми переменными являются Очевидно, реле будет возбуждено тогда и только тогда, когда , где функция сопротивления схемы между полюсами 0 и Это значит, что

Эта система уравнений полностью определяет функционирование системы. Члены, стоящие в правых частях, должны быть

известными функциями, включающими различные зависимые и независимые переменные. Значения зависимых переменных могут быть вычислены, если даны начальные условия и значения независимых переменных.

Опишем преобразования, уменьшающие число элементов, требующихся для реализации системы уравнений. Эти преобразования не меняют но могут меняться. Поэтому новая схема может не быть в строгом смысле эквивалентной старой, однако действие всех реле останется тем же.

Рис. 14. Пример упрощения системы уравнений.

Этот метод упрощения применим только в том случае, когда функции записаны в виде сумм и некоторые члены являются общими для двух или большего числа уравнений. Например, предположим, что дана следующая система уравнений:

Она может быть реализована схемой, изображенной на рис. 14, использующей только один элемент А при трех его вхождениях в систему и только один элемент В при двух его вхождениях. Обоснование почти очевидно, что может быть представлено графически проведением вертикальной черты после члена, общего для разных уравнений

Из принципа двойственности следует, что, если последовательному соединению поставить в соответствие умножение, а параллельному — сложение, получаются в точности те же теоремы для преобразования. Имеются два соображения в пользу выбора приведенных определений. Во-первых, как было отмечено, легче оперировать с суммами, чем с произведениями, а только что описанное преобразование может быть применено только к суммам; во-вторых, при таком выборе функция сопротивления (в нашем смысле) в точности аналогична импедансу. При противоположном определении она была бы более близка к функции проводимости цепей переменного тока, которая используется реже.

Иногда между реле X и Y имеется соотношение Оно имеет место, если реле У может сработать, только если сработало реле X. Это часто имеет место в системах последовательного действия. В схемах такого типа реле могут срабатывать только в определенном порядке или последовательности, действие одного реле подготавливает схему к тому, чтобы могло сработать следующее по порядку реле. Если срабатывание реле X предшествует срабатыванию реле У и далее оба реле остаются возбужденными, пока не сработает вся последовательность, то эти условия выполнены. В этом случае Для упрощений формул иногда могут быть использованы следующие равенства. Именно, если то

Нетрудно убедиться в справедливости этих равенств, умножив левую часть любого из них на , равное 1, или добавив к ней равное 0. Например, чтобы доказать первое равенство, нужно добавить к и вынести общий множитель.