2. Сводка результатов

Ниже вкратце изложены результаты, содержащиеся в работе как для облегчения ее чтения, так и для удобства читателей, которые могут интересоваться результатами и не желают разбираться в проводимом, ниже детальном анализе. Нужно заметить, что алгебраические выкладки, содержащиеся в некоторых местах работы, необычайно громоздки. Введем следующие обозначения:

Р — мощность сигнала (все кодовые слова расположены на поверхности сферы радиуса

— мощность шума является дисперсией каждой составляющей шума);

— отношение сигнал/шум по амплитуде;

число измерений или блоковая длина кода;

М — число кодовых слов;

— скорость передачи кодом (в натуральных единицах);

— пропускная способность канала (на степень свободы);

0 — переменная, соответствующая половине угла раствора (полууглу) конуса, встречающаяся в геометрических задачах, приведенных ниже;

— телесный угол (в -мерном пространстве) конуса с полууглом или площадь, вырезаемая на единичной -мерной сфере конусом;

- — угол конуса, соответствующий пропускной способности канала;

угол конуса такой, что телесный угол сферы равен ; таким образом, угол конуса, соответствующий скорости передачи

— величина, часто встречающаяся далее в формулах;

-решение уравнения (это критический угол, играющий большую роль, так как границы изменяются в зависимости от того,

— вероятность того, что точка -мерного пространства с расстояния от начала координат попадет в область вне конуса с полууглом между вертикалью из начала координат О и осью (смещение определяется сферическим гауссовым распределением с единичной дисперсией по каждой координате);

— показатель в экспоненте, встречающийся в выражениях, определяющих значение границ;

-вероятность ошибки для лучшего кода длины при отношении сигнал/шум А и скорости передачи

нормальное распределение с нулевым средним и единичной дисперсией.

Суммируем теперь результаты работы. Границы, в которых заключено значение можно выразить следующим образом:

(здесь отрицательно, так что последний член в правой части неравенства положителен). Эти границы можно записать в форме довольно сложных интегралов. Для того чтобы достаточно полно изучить их поведение, дадим, во-первых, асимптотические выражения для них при больших , во-вторых, более грубые значения, которые, однако, выражаются с помощью элементарных функций без интегралов.

Асимптотическое выражение нижней границы (асимптотика справедлива при ) имеет вид

асимптотическое выражение верхней границы —

Эти формулы справедливы для . В этой области асимптотические выражения для нижней и верхней границ отличаются лишь множителем в скобках, не зависящим от Таким образом, вероятность ошибки определена этими соотношениями асимптотически с точностью до множителя, зависящего от скорости передачи. Для скоростей передач, близких к пропускной способности канала близко к этот множитель лишь немного больше единицы и границы близки друг к другу. Для более низких скоростей передачи, близких к (соответствующей , множитель становится большим. Для верхняя граница асимптотически равна

Кроме асимптотической границы, также дадим точные границы, справедливые для всех значений однако они хуже асимптотических границ при больших Точная нижняя граница выражается соотношением

Легко заметить, что точная граница равна асимптотической границе, умноженной на множитель, по существу не зависящий от Точная верхняя граница (справедливая, если максимум в области между 0 и имеет место при выражается формулой

Для скоростей передачи, близких к пропускной способности канала, нижняя и верхняя асимптотические границы сходятся друг к другу, так что при большом и малом (положительном)

где Ф — нормальная функция распределения с единичной дисперсией.

Связь угла в предыдущих формулах со скоростью передачи определяется неравенствами

Асимптотически они приводят к соотношению

Для малых скоростей передачи (в частности, при найденные выше границы расходятся, давая мало информации. Два других метода рассуждений приводят к другим границам, полезным при малой скорости передачи. Для верхней границы получаем

где удовлетворяет соотношению Заметим, что когда верхняя граница равна примерно

Для нижней границы при малой скорости передачи получается

Для больших М эта граница сходится к , если велико, асимптотически равна Таким образом, при скоростях передачи, близких к нулю, и при больших снова имеем случай, когда обе границы сходятся друг к другу и получается точное выражение для

Для кодов со скоростью передачи , где фиксировано и положительно, стремится к единице с возрастанием