§ 9. Проекции направленного отрезка на оси координат.
В этом параграфе прежде всего мы дадим формулы, выражающие проекции направленного отрезка на координатные оси.
Пусть известны длина d направленного отрезка АВ и угол а между осью Ох и этим отрезквм (рис. 22).
Рис. 22
Проекцию отрезка АВ на ось Ох получим непосредственно по формуле (9) § 8: 
. Чтобы выразить проекцию отрезка АВ на ось Оу, заметим, что угол между осью Оу и отрезком АВ равен 
(действительно, если повернуть ось Оу
сначала на угол 
затем еще на угол 
ее положительное направление совпадет с направлением отрезка АВ). Тогда 
Таким образом,
Предположим теперь, что направленный отрезок АВ расположен на некоторой оси 
. В таком случае проекции этого отрезка на оси координат можно выразить также через его величину и угол 
между осью Ох и осью 
. По формуле (10) будем иметь:
так как угол между осью Оу и осью и равен 
и следовательно, 
Если же направленный отрезок АВ задан координатами его начала 
и конца 
то проекции отрезка на оси координат можно выразить через координаты ограничивающих его точек.
Проекция отрезка АВ на ось Ох равна величине направленного отрезка 
оси Ох (рис. 22). Так как вел 
(гл. 1. § 3), то 
Совершенно так же 
Таким образом,
Заметим, что, проектируя на координатные оси направленный отрезок, идущий из начала координат в произвольную точку 
плоскости, по формулам (14) получим:
Таким образом, координаты х, у точки М можно рассматривать как проекции направленного отрезка ОМ на оси координат
В дальнейшем нам понадобится формула, выражающая тангенс угла между осью Ох и направленным отрезком АВ через координаты его начала и конца. Эту формулу легко получить, используя приведенные выше выражения проекций отрезка АВ на оси координат.
Сравнивая между собой формулы (12) и (14), получим:
откуда
Формула (16) определяет тангенс угла между осью Ох и направленным отрезком АВ.
Если изменить направление отрезка на прямо противоположное, то угол между осью Ох и отрезком изменится на 
, по тангенс угла, очевидно, сохранит прежнее значение и будет, следовательно, определяться той же формулой (16)
Рис. 23.
