Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2. Геометрический смысл уравнения первой степени между тремя переменными. Приведение общего уравнения первой степени к нормальному виду.В предыдущем параграфе было доказано, что всякая плоскость может быть представлена уравнением первой степени. Теперь докажем обратную теорему: всякое уравнение первой степени между тремя переменными определяет плоскость. Возьмем уравнение первой степени общего вида:
Будем рассматривать А, В и С как проекции на оси координат Ох, Оу и Oz некоторого постоянного вектора и, а х, у и z как проекции радиуса-вектора
Покажем, что уравнение (5) может быть приведено к нормальному виду (Г). Рассмотрим следующие случаи: 1) Пусть Тогда разделим уравнение (5) на модуль вектора
так как 2) Если Обозначив же положительное число — через 3) Если Таким образом, уравиеиие (5) всегда может быть приведено к нормальному виду (1'). Но нормальное уравнение определяет плоскость. Следовательно, уравнение (5), а значит, и исходное уравнение (5), определяет плоскость. Таким образом, теорема доказана. Уравнение (5) называется общим уравнением плоскости. Условимся всякий вектор, отличный от нулевого, перпендикулярный к плоскости, называть нормальным вектором плоскости. Тогда, очевидно, вектор Легко усмотреть, что нормальное уравнение плоскости в координатной форме (2) есть частный случай общего уравнения (5). Это — тот случай, когда за нормальный к плоскости вектор выбран единичный вектор, направленный из начала координат перпендикулярно к данной плоскости. Из предыдущего мы усматриваем способ приведения уравнения (5) или (5) к нормальному виду (2) или (Г). Чтобы привести общее уравнение плоскости к нормальному виду, надо его разделить на длину вектора
причем знак множителя следует взять противоположным знаку свободного члена D в уравнении (5) (при После умножения на М уравнение (5) принимает вид:
в совпадает с нормальным уравнением (2). Следовательно, имеем:
Подставив найденное по формуле (6) значение М в последние равенства, получим формулы для
В этих формулах (8) надо брать верхние знаки, если Замечание 1. Установить геометрический смысл уравнения первой степени, а также найти правило приведения общего уравнения к нормальному виду, можно не прибегая к векторному методу. Отправляясь от уравнения первой степени общего вида (5), спросим себя, каково геометрическое Место тех точек пространства, координаты которых
Чтобы уравнение (9) было вида, одинакового с уравнением (2), нужно положить
Из равенств (10) легко найдем неизвестные
(ч. 2, гл. I, § 4). Действительно, возводя в квадрат первые три из равенств (10)
или
откуда
В формуле (6) нужно брать знак, противоположный знаку свободного члена, как это видно из последнего равенства (10). Подставив найденное значение М в равенства (10), получим формулы (8) для Итак, уравнение (5) приводится к нормальному виду путем умножения его на множитель М, определяемый по формуле (6). Этот множитель М носит название нормирующего множителя. Так как нормальное уравнение определяет, как мы видели в предыдущем параграфе, плоскость, то отсюда следует, что и общее уравнение (5) определяет плоскость. Итак всякое уравнение первой степени между Замечание 2. Если два уравнения определяют одну и ту же плоскость, то соответствующие коэффициенты их пропорциональны. Действительно, будучи приведены к нормальному виду, оба эти уравнения перейдут в одно и то же нормальное уравнение. Коэффициенты каждого из них пропорциональны соответствующим коэффициентам этого нормального уравнения, а потому пропорциональны и между собой. Пример. Уравнение плоскости Нормирующий множитель будет:
умножая на него данное уравнение, получим:
Для данной плоскости, следовательно, имеем:
|
1 |
Оглавление
|