§ 2. Геометрический смысл уравнения первой степени между тремя переменными. Приведение общего уравнения первой степени к нормальному виду.

В предыдущем параграфе было доказано, что всякая плоскость может быть представлена уравнением первой степени. Теперь докажем обратную теорему: всякое уравнение первой степени между тремя переменными определяет плоскость. Возьмем уравнение первой степени общего вида:

Будем рассматривать А, В и С как проекции на оси координат Ох, Оу и Oz некоторого постоянного вектора и, а х, у и z как проекции радиуса-вектора точки М. Тогда уравнение (5) может быть переписано в векторной форме следующим образом (гл. I, § 9):

Покажем, что уравнение (5) может быть приведено к нормальному виду (Г).

Рассмотрим следующие случаи:

1) Пусть

Тогда разделим уравнение (5) на модуль вектора , т. е. на . Получим:

так как Обозначив отрицательное число через — , где положительно, будем иметь нормальное уравнение

2) Если то разделим уравнение (5) на , после чего оно примет вид

Обозначив же положительное число — через , получим нормальное уравнение.

3) Если то уравнение (5) можно разделить как на , так и на ). В первом случае мы получим а во втором Каждое из них является нормальным уравнением вида (1').

Таким образом, уравиеиие (5) всегда может быть приведено к нормальному виду (1'). Но нормальное уравнение определяет плоскость. Следовательно, уравнение (5), а значит, и исходное уравнение (5), определяет плоскость. Таким образом, теорема доказана. Уравнение (5) называется общим уравнением плоскости.

Условимся всякий вектор, отличный от нулевого, перпендикулярный к плоскости, называть нормальным вектором плоскости. Тогда, очевидно, вектор будет одним из нормальных векторой плоскости. Таким образом, коэффициенты А, В, С при текущих координатах в уравнении (5) имеют простой геометрический смысл: они являются проекциями нормального вектора на координатные оси. Свободный член D непосредственного геометрического смысла не имеет, но его абсолютная величина, разделенная на длину нормального вектора , равна расстоянию плоскости от начала координат.

Легко усмотреть, что нормальное уравнение плоскости в координатной форме (2) есть частный случай общего уравнения (5). Это — тот случай, когда за нормальный к плоскости вектор выбран единичный вектор, направленный из начала координат перпендикулярно к данной плоскости.

Из предыдущего мы усматриваем способ приведения уравнения (5) или (5) к нормальному виду (2) или (Г).

Чтобы привести общее уравнение плоскости к нормальному виду, надо его разделить на длину вектора , взяв ее со знаком или смотря по тому, будет ли свободный член D отрицательным или положительным. Иными словами, для приведения общего уравнения (5) первой степени к нормальному виду нужно умножить его на множитель

причем знак множителя следует взять противоположным знаку свободного члена D в уравнении (5) (при знак множителя выбирается произвольно). Этот множитель М носит название нормирующего множителя.

После умножения на М уравнение (5) принимает вид:

в совпадает с нормальным уравнением (2). Следовательно, имеем:

Подставив найденное по формуле (6) значение М в последние равенства, получим формулы для :

    (8)

В этих формулах (8) надо брать верхние знаки, если и нижние в противном случае.

Замечание 1. Установить геометрический смысл уравнения первой степени, а также найти правило приведения общего уравнения к нормальному виду, можно не прибегая к векторному методу. Отправляясь от уравнения первой степени общего вида (5), спросим себя, каково геометрическое Место тех точек пространства, координаты которых удовлетворяют нашему уравнению? Мы покажем, что искомое геометрическое мссто точек будет плоскость. С этой целью умножим наше уравнение на постоянный множитель М, подобрав его так, чтобы получилось нормальное уравнение, т. е. уравнение вида (2). Уравнение (5) преобразуется к виду

Чтобы уравнение (9) было вида, одинакового с уравнением (2), нужно положить

Из равенств (10) легко найдем неизвестные выраженными через известные коэффициенты А, В, С, D, если воспользуемся вспомогательным равенством

(ч. 2, гл. I, § 4). Действительно, возводя в квадрат первые три из равенств (10) складывая, найдем:

или

откуда

В формуле (6) нужно брать знак, противоположный знаку свободного члена, как это видно из последнего равенства (10). Подставив найденное значение М в равенства (10), получим формулы (8) для

Итак, уравнение (5) приводится к нормальному виду путем умножения его на множитель М, определяемый по формуле (6). Этот множитель М носит название нормирующего множителя. Так как нормальное уравнение определяет, как мы видели в предыдущем параграфе, плоскость, то отсюда следует, что и общее уравнение (5) определяет плоскость. Итак всякое уравнение первой степени между определяет плоскость как геометрическое место точек пространства, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Замечание 2. Если два уравнения определяют одну и ту же плоскость, то соответствующие коэффициенты их пропорциональны.

Действительно, будучи приведены к нормальному виду, оба эти уравнения перейдут в одно и то же нормальное уравнение.

Коэффициенты каждого из них пропорциональны соответствующим коэффициентам этого нормального уравнения, а потому пропорциональны и между собой.

Пример. Уравнение плоскости привести к нормальному виду.

Нормирующий множитель будет:

умножая на него данное уравнение, получим:

Для данной плоскости, следовательно, имеем: