ГЛАВА V. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

§ 1. Уравнения прямой линии.

Положение прямой линии в пространстве будет вполне определено, если зададим на прямой определенную точку при помощи ее радиуса-вектора и вектор s (отличный от нулевого), которому прямая параллельна (рис. 116), Этот вектор s назовем направляющим вектором прямой. Переменной точке М прямой линии соответствует ее радиус-вектор и из рис. 116 мы получаем:

Рис. 116.

Заметив, что вектор параллелен вектору s, мы его выразим таким образом:

где числовой множитель t может принимать любые значения в зависимости от положения точки М на прямой. Следовательно, равенство (1) можно переписать так:

причем t играет роль переменного параметра. Уравнение (2) назовем векторным уравнением прямой линии.

Желая заменить уравнение равносильными ему координатными уравнениями, обозначим декартовы координаты точки относительно системы с началом координат в точке О через а, b, с (это будут проекции радиуса-вектора ), текущие координаты точки М — через (проекции радиуса-вектора ) и, наконец, проекции вектора s — через . Тогда, написав уравнение (2) в проекциях, получим:

    (3)

Когда параметр изменяется, точка с координатами х, у, z, определяемыми из уравнений (3), движется по данной прямой. Уравнения (3) называют параметрическими уравнениями прямой линии. Так как — проекции направляющего вектора s, которому прямая параллельна, то числа характеризуют направление прямой линии в пространстве и их принято называть направляющими коэффициентами этой прямой. Заметим, что при единичном векторе коэффициенты становятся косинусами углов , образованных данной прямой (направлением вектора ) с осями координат . В этом случае уравнения (2) и (3) примут вид:

причем в этом случае параметр t имеет простое геометрическое значение: t обозначает расстояние переменной точки М от точки , взятое со знаком или — в зависимости от того, будет ли направление вектора одинаково или противоположно направлению вектора Другими словами, в уравнениях есть величина направленного отрезка рассматриваемой прямой, считая, что положительное направление прямой совпадает с направлением вектора

Посмотрим, возможно ли определить зная . Очевидно, имеем:

где s обозначает длину вектора s. Переписав последнее равенство в проекциях, получим:

    (4)

т. e. m, n, p пропорциональны направляющим косинусам прямой линии, причем множителем пропорциональности служит длина вектора .

Таким образом, из равенств (4) находим:

Следовательно, направление прямой в пространстве определяется отношениями ее направляющих коэффициентов, что дает возможность считать длину вектора произвольной.

Вместо параметрических уравнений (3) и (3 обычно определяют прямую линию посредством системы двух уравнений первой степени между текущими координатами. Эти уравнения получаются из уравнений (3) или (3) путем исключения параметра t. Так, из уравнений (2) находим:

или

Уравнения назовем каноническими уравнениями прямой линии.

В частности, при уравнения (5) примут вид:

Система двух уравнений (5) представляет нашу прямую линию как пересечение двух плоскостей, определяемых уравнениями

Заметим, что в канонических уравнениях все коэффициенты одновременно не могут обратиться в нуль, так как Но некоторые из них могут быть равны нулю. В этом случае запись (5) понимают условно, в том смысле, как это разъяснялось в § 13 гл. II.

Пусть, например, Тогда в соответствии со сказанным в § 13 гл. II

т. е.

Тот же результат мы, конечно, получим и из уравнений (3). Заметим, что равенства

и

означают геометрически одно и то же: первое из них показывает, что прямая перпендикулярна к оси а второе, что прямая лежит в плоскости, перпендикулярной к оси Ох.

Замечание. Можно вывести уравнения прямой линии, не прибегая к векторам. Возьмем на прямой линии определенную точку и переменную точку . Обозначим через а, Р, у углы данной прямой (определенным образом выбранного направления этой прямой) с осями координат а через q — расстояние , взятое со знакомили — в зависимости от того, будет ли направление отрезка одинаково или противоположно выбранному направлению на прямой.

Проекции отрезка на оси координат суть соответственно: . По формуле, выражающей проекцию отрезка (гл. I, § 3), имеем:

Рис. 117.

Исключая q из трех последних уравнений, запишем уравнения прямой липни в виде

Умножая знаменатели отношении (5) на одно и то же произвольное число, представим уравнения прямой линии в виде

суть количества, пропорциональные косинусам углов прямой линии с осями координат, т. е.

Эти уравнения (5) называют каноническими уравнениями прямой линии.