§ 3. Эллипс.

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (эта постоянная должна быть больше расстояния между фокусами,

Рис. 49.

Чтобы составить уравнение эллипса, примем за ось абсцисс прямую, соединяющую две данные точки F, и выбрав на ней положительное направление от начало координат возьмем в середине отрезка, соединяющего две данные точки (рис. 49). Обозначим через расстояние между фокусами. Тогда координаты точек F, и будут соответственно Обозначая через х и у координаты произвольной точки М эллипса, выразим длины отрезков по формуле расстояния между двумя точками (гл. I, § 5):

По определению эллипса сумма есть величина постоянная. Обозначая ее через , имеем:

или

Это есть уравнение эллипса в выбранной системе координат.

Чтобы найденное уравнение эллипса приняло простейший вид, нужно в этом уравнении освободиться от радикалов. Перенося один радикал направо, получим:

Воаводя в квадрат обе части, найдем:

или

т. е.

Возводя снова в квадрат, получим:

или

т. е.

Разделив обе части на получим:

Так как по условию то есть положительная величина; ее принято обозначать через Тогда уравнение эллипса будет:

где положено

Уравнение (3) называется каноническим уравнением эллипса.

Займемся исследованием формы эллипса. Это легко сделать, отправляясь от составленного уравнения (3).

1) Симметрия эллипса. Так как уравнение (3) содержит только квадраты текущих координат, то если точка находится на эллипсе, то и точки находятся на эллипсе при произвольном выборе знаков у координат; следовательно, оси координат являются осями симметрии эллипса. Ось симметрии эллипса, на которой располагаются фокусы, называется фокальной осью.

Точка пересечения осей симметрии — центр симметрии — называется центром эллипса. Для эллипса, заданного уравнением (3), фокальная ось совпадает с осью Ох, а центром является начало координат.

2) Точки пересечения с осями симметрии. Точки пересечения эллипса с осями симметрии называются его вершинами. Эллипс, заданный уравнением (3), имеет вершины в точках пересечения его с осями координат, так как последние являются осями симметрии. Полагая в уравнении найдем абсциссы точек пересечения эллипса с осью

Полагай найдем ординаты точек пересечения эллипса

Следовательно, вершинами эллипса будут точки:

(рис. 50).

Отрезки соединяющие противоположные вершины эллипса, а также их длины называют соответственно большой и малой осями эллипса. Длины а и b называют соответственно большой и малой полуосями эллипса.

3) Форма эллипса. Чтобы исследовать форму эллипса, достаточно считать в уравнении , потому что, как было выше замечено, эллипс симметрично расположен относительно осей координат. Из уравнения (3) следует, что -1, или , т. е. х может изменяться от 0 до а.

С увеличением от 0 до а ордината у уменьшается от b до 0. Таким образам, эллипс имеет форму, указанную на рис. 50.

Рис. 50.

Механическое построение эллипса. Зная фокусы F, и и длину 2а большой оси, легко механически построить эллипс. Нужно взять нить длиной 2а, укрепить два ее конца в точках и, придав ей форму описать точкой М эллипс (в точке М поместить острие карандаша).

При уравнение (3) принимает вид и определяет окружность. Поэтому окружность можно рассматривать как эллипс с равными полуосями.