§ 9. Гиперболический параболоид.

Простейшее уравнение гиперболического параболоида имеет вид:

т. е. отличается от уравнения (IV) только знаком при Плоскость координат пересекает эту поверхность по параболе

для которой ось Oz является осью симметрии и которая расположена в положительном направлении оси Плоскость параллельная плоскости пересекает поверхность (V) по параболе, уравнения которой будут:

Из уравнения (28) усматриваем, что эти параболы, расположенные в плоскостях x = h, имеют один и тот же параметр, их оси симметрии находятся в плоскости xOz и параллельны оси Oz, ветви парабол направлены вниз (в отрицательном направлении оси Oz),

а их вершины имеют координату . Так как уравнение параболы (27), расположенной в плоскости при дает то же значение для , то отсюда заключаем, что вершины парабол (28) расположены на параболе (27) (рис. 124).

Рис. 124.

Таким образом, гиперболический параболоид (V) можно рассматривать как поверхность, образованную движущейся параболой, ось симметрии которой остается в плоскости а вершина движется по параболе (27). Плоскость параболы остается параллельной плоскости Пересекая гиперболический параболоид (V) плоскостью получим в сечении гиперболу, уравнения которой будут:

При действительная ось симметрии гиперболы будет параллельна оси Ох, при действительная ось симметрии гиперболы будет параллельна оси

Плоскость хОу дает в сечении с поверхностью (V) линию

уравнения которой распадаются на две пары уравнений:

и

и, следовательно, это сечение есть совокупность двух пересекающихся прямых. Прямые сечения плоскостью служат как бы переходом от одного семейства гипербол (получающихся в сечении плоскостью при ) к другому семейству.

Так как уравнение (V) содержит только квадраты координат х и у, то плоскости являются плоскостями симметрии для поверхности.