§ 9. Скалярное произведение векторов, заданных проекциями.
Обозначая через 
проекции вектора А, а через 
проекции вектора В, выразим скалярное произведение А и В:
По свойству распределительности суммы векторов умножаются как многочлены. Следовательно, получаем:
Так как 1, j, к представляют три взаимно перпендикулярных единичных вектора, то
следовательно, в полученном выражении (14) для АВ пропадут шесть слагаемых, и окончательная формула будет:
или словами: скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных проекций.
Прилагая обычное определение степени, естественно называть скалярное произведение вектора самого на себя его скалярным квадратом. Применяя полученную формулу (15) при 
найдем:
С другой стороны, согласно определению скалярного произведения (§ 7) получаем:
Следовательно, мы имеем следующую формулу для определения длины вектора:
откуда
т. е. длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его проекций.
Заметив, что проекции единичного вектора 
будут его направляющими косинусами (§ 4 гл. 1), мы из формулы (16) получаем:
что совпадает с формулой (15) § 4 гл. 1.
Пусть теперь даны две точки 
Найдем расстояние между ними. Заметим, что вектор
есть разность векторов
и
Следовательно, мы имеем:
т. е. проекции вектора на оси координат равны разностям одноименных координат конца и начала вектора. Применяя формулу (16), получим:
т. е. расстояние между двумя точками равно квадратному корню из суммы квадратов разностей одноименных координат этих точек, что совпадает с формулой (6) § 2 гл. I.
