§ 6. Уравнения линий в полярных координатах.

Ранее мы рассматривали уравнения линий в декартовых координатах, но аналогично можно говорить и об уравнениях линий в полярных координатах. Уравнением линии в полярной системе координат мы будем называть такое уравнение между переменными которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют

координаты точек, не принадлежащих ей. Рассмотрим пример на нахождение уравнении данной линии в полярных координатах.

Пусть требуется найти уравнение окружности, проходящей через полюс, центр которой С лежит на полярной оси, а радиус равен а. Соединим отрезками прямой произвольную точку М окружности с полюсом и с конечной точкой D диаметра, проходящего через полюс (рис. 32). Координатами точки М будут угол и длина отрезка ОМ. Припомним, что окружность есть геометрическое место вершин прямых углов, опирающихся на ее диаметр. Следовательно, треугольник OMD — прямоугольный.

Отсюда получаем:

Это и есть искомое уравнение окружности.

Рис. 32.

Заметим, что вид уравнения данной линии зависит от выбора полюса и полярной оси. Так, если мы выберем полюс в центре окружности радиуса а, то для всех точек окружности (и только для этих точек) полярный радиус будет иметь одно и то же значение это равенство будет, следовательно, уравнением окружности радиуса а с центром в полюсе. Полярный угол в это уравнение не входит, оставаясь произвольным.

При исследовании формы линии на основании ее уравнения приходится часто пользоваться полярными координатами. Это удобно делать всякий раз, когда уравнение линии в полярных координатах проще, чем в декартовых. В качестве примеров мы рассмотрим две линии, часто встречающиеся в приложениях.

Пример 1. Линия, называемая спиралью Архимеда, определяется в полярных координатах уравнением

где а есть положительная постоянная. Чтобы начертить эту линию, будем давать произвольные значения и определять соответствующие значения . Приводимая таблица значений удовлетворяющих данному уравнению, показывает, что при возрастании угла в арифметической прогрессии с разностью полярный радиус возрастает тоже в арифметической прогрессии с разностью . Кроме того, заметим, что всякой точке этой линии с положительными координатами соответствует на этой же линии точка

т. е. спираль Архимеда расположена симметрично относительно прямой, проходящей через полюс перпендикулярно к полярной оси. На рис. 33 сплошной линией изображена ветвь, соответствующая положительным значениям а пунктирной — отрицательным.

Рис. 33.

Пример 2. Линия, определяемая в полярных координатах уравнением

где а и k суть положительные постоянные, называется логарифмической спиралью.

(см. скан)

Рис. 34.

Чтобы начертить эту линию, будем давать произвольные значения и определять соответствующие значения . Приводимая здесь таблица значений удовлетворяющих данному уравнению, показывает, что при возрастании угла в арифметической прогрессии с разностью полярный радиус возрастает в геометрической прогрессии со знаменателем Когда угол неограниченно возрастает, то тоже неограниченно растет; когда угол Ф стремится к отрицательной бесконечности, то полярный радиус стремится к нулю и кривая неограниченно приближается к полюсу О, закручиваясь около него.

Поэтому точка О называется асимптотической точкой логарифмической спирали (рис. 34).

Иногда встречается надобность в переходе от уравнения линии в декартовых коврдннатах к уравнению той же линии в полярных координатах или обратно. В таком случае следует применять формулы, связывающие полярные и декартовы координаты (гл. 1, § 11).

Пример. Уравнение окружности в полярных координатах

записать в декартовых координатах.

Выражаем через

Подставляя эти выражения в данное уравнение, после упрощений получим:

Упражнения

1. Построить кривую, заданную уравнением (Эта кривая носит название локона Аньези.)

2. Построить кривую, заданную уравнением (Эта кривая называв] четырехлепестковой розой.)

3. Построить кривые, заданные уравнениями:

4. Построить кривые, которым в полярных координатах соответствуют уравнения:

5. Построить кривые, заданные в полярных координатах уравнениями:

6. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от начала координат и от точки

7. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от оси Ох и от точки Построить кривую.

8. Определить траекторию точки М, которая движется так, что ее расстояние от точки остается вдвое меньше расстояния от точки

9. Определить траекторию точки М, которая движется так, что ее расстояние от точки остается вдвое меньше расстояния прямой

Рис. 35.

10. Найти уравнение геометрического места точек, произведение расстояний которых до двух данных точек Р и Q есть величина постоянная, оавиая Расстояние между Р и Q равно (Это геометрическое место точек называется овалом Кассини.) Построить эту линию.

11. Овал Кассини (см. упражнение 10) для случая, когда , называется лемнискатой Бернулли. Найти уравнение лемнискаты: а) в декартовых координатах и б) в полярных координатах. Построй эту кривую.

12. Даны прямая Ох и на расстоянии а от нее точка А (рис. 35). Если прямая будет вращаться около точки А, то точки лежащие на этой прямой и отстоящие от точки В пересечения прямой АВ с основной прямой Ох на данное расстояние b, опишут некоторую линию. Она называется конхоидой Никомеда. Найти уравнение конхоиды и построить ее для случаев

Рис. 36.

13. Даны прямая Оу и точка А на расстоянии а от нее (рис. 36). Вокруг точки А вращается луч А В и на нем в обе стороны от точки В (точки пересечения луча с осью Оу) отложены переменные отрезки ВМ, и равные по длине ОВ. При вращении луча АВ точки М, и описывают кривую, называемую строфоидой. Составить уравнение этой кривой построить ее.

14. Даны окружность диаметра и касательная к ней РЕ (рис. 37). Через точку О, диаметрально противоположную точки D, проведен луч ОЕ и на нем отложен отрезок ОР, равный отрезку BE, заключающемуся между окружностью и касательной.

Если луч ОЕ будет вращаться около точки О, то точка Р опишет кривую, называемую циссоидой Диоклеса. Найти уравнение этой кривой и построить ее.

Рис. 37.

Рис. 38.

15. Даны окружность радиуса а и на ней точка О (рис. 38). Если прямая О В будет вращаться около тчки О, то точки М, и находящиеся на данной прямой и отстоящие на данное расстояние от точки В пересечения прямой с окружностью, опишут кривую, называемую улиткой Паскаля. Найти уравнение этой кривой в полярных координатах и построить ее. (Кривые вычертить для случаев )

16. Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух данных точек.

17. Две прямые вращаются вокруг двух неподвижных точек, оставаясь все время перпендикулярными друг к Другу. Найги уравнение линии, описываемой точкой их пересечения.

18. Из точки М проведены к двум окружностям радиусов R и две равные касательные. Найти уравнение геометрического места точек М при условии, что расстояние между центрами окружностей равно

19. Отрезок постоянной длины 2а скользит своими концами по сторонам прямого угла. Из вершины прямого угла на этот отрезок опущен перпендикуляр ОМ. Найти уравнение геометрического места оснований этих перпендикуляров в полярных координатах и построить эту линию.

20. Найтн геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний которых от сторон квадрата равьа постоянной величине.

21. Написать уравнение циссоиды в полярных координатах.

22. Нанисать уравнения кривых:

а) (улитка Паскаля);

б) (четырехлепестковая роза) в декартовых координатах.

23. Круг радиуса а катится без скольжения по оси абсцисс. Найти параметрические уравнения линии, описываемой при указанном движении той точкой окружности, которая при начальном положении окружности находилась в начале координат.

24. Тело брошено вверх со скоростью v под углом а к горизонту. Найти, пренебрегая сопротивлением воздуха, параметрические уравнения траектории тела (за параметр принять время).