Главная > Аналитическая геометрия
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 12. Основные свойства векторного произведения.

1. При перестановке сомножителей векторное произведение умножается на (-1), т. е.

В самом деле, площадь параллелограмма, построенного на векторах А и В, а также и его плоскость не меняются при перестановке А и В. Поэтому векторы и имеют одинаковые длины и коллинеарны.

Направления же этих векторов противоположны; действительно, если смотреть на плоскость векторов А и В с конца вектора А X В, то кратчайший поворот от В к А будет казаться происходящим по часовой стрелке. Следовательно, вектор ВХА должен быть направлен в противоположную сторону.

Заметим еще, что в случае коллинеарности векторов А и В равенство (24) очевидно, так как тогда — нулевые векторы.

2. Векторное произведение обладает свойством сочетательности относительно числового множителя; это свойство выражается следующими формулами:

т. е. чтобы умножить векторное произведение векторов на число, достаточно умножить на это число один из сомножителей.

Обе формулы (25) доказываются аналогично. Докажем, например, первую из них. Ограничимся случаем

Для доказательства равенства векторов заметим прежде всего, что длины этих векторов одинаковы:

Направления же векторов совпадают, так как при умножении вектора на положительное число его направление не меняется.

3. Векторное произведение подчиняется распределительному закону, т. е.

Для доказательства заметим сначала, что произведение где — единичный вектор, можно построить так (рис. 104).

Рис. 104.

Рис. 105.

Спроектируем вектор на плоскость, перпендикулярную к и полученную вектор-проекцию повернем в этой плоскости вокруг точки О по часовой стрелке на 90° (если смотреть на плоскость с конца вектора ).

Полученный вектор и равен . В самом деле,

где ф — угол между векторами

б) вектор перпендикулярен к векторам А и С и направлен в ту сторону, из которой кратчайшее вращение от А к представляется совершающимся против часовой стрелки.

Итак,

Пусть теперь даны единичный вектор перпендикулярная к нему плоскость и треугольник (рис. 105), в котором

и

Спроектируем на плоскость и повернем проекцию в плоскости по часовой стрелке на 90°.

Получим в котором по предыдущему

Так как

то

Заметив, что умножим теперь обе части равенства (27) на скаляр С. Применив свойство 2 векторного произведения, получим:

или

что и требовалось доказать.

Пример 1. Показать, что , и выяснить геометрический смысл этого равенства, изображая векторы диагоналями параллелограмма.

В самом деле:

Геометрически это значит, что удвоенная площадь параллелограмма равна площади параллелограмма, построенного на его диагоналях.

Пример 2. Пусть вершины треугольника АВ С заданы своими радиусами-векторами Найти вектор S, представляющий треугольную площадку ABC, на которой задано направление обхода контура от А к В и от В к С, т. е. найти вектор, длина которого численно равна площади данного треугольника, а направление перпендикулярно к его плоскости (причем вектор должен быть направлен в ту сторону, откуда заданный обход контура треугольника кажется происходящим против движения часовой стрелки). Так как то искомый вектор S будет:

1
Оглавление
email@scask.ru