§ 5. Эллипсоид.
Мы видели (гл. VI, § 4), что уравнение поверхности, полученной вращением эллипса
вокруг оси 
будет:
Это уравнение определяет поверхность, называемую эллипсоидом вращения. Пересекая этот эллипсоид плоскостью 
, параллельной плоскости 
получим в сечении окружность, уравнения которой будут:
и радиус которой равен
Следовательно, при изменении h от значения —с до значения 
окружность (9) описывает эллипсоид вращения.
Возьмем теперь вместо окружности (9) эллипс 
лежащий в плоскости 
параллельной плоскости 
полуоси которого суть: 
При изменении 
от —с до +с этот эллипс описывает поверхность, уравнение которой получим, исключив h из двух уравнений (10):
Поверхность 2-го порядка, определяемая уравнением (I), называется эллипсоидом, а величины а, b, с — полуосями эллипсоида.
Пересекая эллипсоид плоскостями координат 
получим в сечении эллипсы:
Как мы уже видели, в сечении эллипсоида плоскостью 
параллельной плоскости 
получается эллипс (10) с полуосями (11). При изменении h от —с до +с эти полуоси изменяются, оставаясь пропорциональными полуосям а и b эллипса, лежащего в плоскости хОу (рис. 120). Два эллипса с пропорциональными полуосями называются подобными. Таким образом, эллипсоид можно рассматривать как поверхность, образованную движущимся эллипсом (плоскость которого остается параллельной плоскости хОу), который при движении остается себе подобным и концы осей которого скользят по эллипсам (12) в плоскостях 
Рис. 120.
Не уменьшая общности, мы можем считать 
Если 
то уравнение (1) определяет сферу; если 
то уравнение (I) определяет удлиненный эллипсоид вращения с осью вращения 
если 
, то уравнение (1) определяет сжатый эллипсоид вращения с осью вращения 
Если среди чисел а, b и с нет равных, то эллипсоид называется трехосным.
Уравнение (I) содержит только квадраты координат, откуда следует, что эллипсоид симметрпчеп относительно начала координат, а плоскости координат суть его плоскости симметрии, так как если некоторая точка М (х, у, z) находится на эллипсоиде, то и точки 
находятся на эллипсоиде при произвольном выборе знаков у координат.
