§ 8. Некоторые приложения определителей к аналитической геометрии.
1. Площадь треугольника. В гл. I, § 10 мы вычислили площадь 5 треугольника по координатам его вершин и получили формулу
которую можно переписать таким образом:
Прибавляя к элементам первых двух строк элементы третьей строки, найдем окончательно:
2. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой.
Если три данные точки находятся на одной прямой линии, то 
и обратно. Следовательно, условием того, чтобы три данные точки 
лежали на одной прямой, будет
3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Заменив в последнем условии 
текущими координатами 
получим уравнение первой степени:
которое определяет прямую линию, проходящую через две данные точки: 
Эту задачу возможно также решить с помощью определителей, не прибегая к формуле для площади треугольника. Пусть уравнение искомой прямой линии будет 
. Так как эта прямая согласно условию должна проходить через точки 
то координаты последних должны удовлетворять уравнению прямой, т. е.
Итак, имеем три уравнения:
где х, у суть координаты любой точки нашей прямой. Эти уравнения являются однородными относительно неизвестных А, В, С. Эта система должна иметь решение, отличное от нулевого. Как мы знаем, необходимым и достаточным условием для этого является равенство нулю определителя системы, т. е.
Полученное уравнение первой степени относительно х, у изображает, очевидно, искомую прямую. Легко проверить, что координаты двух данных точек удовлетворяют составленному уравнению. Действительно, подставляя вместо х, у координаты данной точки, получим в левой части определитель с двумя одинаковыми строками, который, очевидно, равен нулю. Полученное уравнение можно рассматривать также, как условие того, что три точки 
лежат на одной прямой.
4. Условие, при котором три прямые пересекаются в одной точке.
Пусть три данные прямые липни
пересекаются в одной точке 
Координаты этой точки должны удовлетворять уравнениям данных прямых:
Эти равенства показывают, что однородная система
имеет ненулевое решение 
Следовательно, определитель этой системы должен быть равен нулю, что и дает нам искомое условие:
