§ 2. Окружность.

Мы видели (гл. II, § 1), что окружность с центром в точке и радиусом R имеет уравнение

Раскрывая скобки, придадим уравнению (1) вид:

или

где положено

Уравнение является уравнением второй степени. Итак, окружность имеет уравнение второй степени относительно текущих координат. Но, очевидно, не всякое уравнение второй степени определяет окружность. Действительно, из уравнения усматриваем, что в уравнении окружности коэффициенты при квадратах координат равны, а член с произведением координат отсутствует. Обратно, если эти два условия (равенство коэффициентов при и отсутствие члена ) осуществлены,

то уравнение, вообще говоря, определяет окружность, так как оно приводится к виду путем деления на коэффициент при

Итак, по виду данного уравнения второй степени мы можем решить, является ли оно уравнением окружности или нет. Например, уравнение

определяет окружность, так как в нем коэффициенты при квадратах координат равны между собой, а член с произведением координат отсутствует. Желая построить эту окружность, мы должны предварительно определить координаты ее центра и радиус. С этой целью данное уравнение мы приведем к виду (1). Такое преобразование есть не что иное, как представление уравнения ) в виде (1). Возьмем в данном уравнении члены, содержащие и представим этот двучлен в виде:

т. е. выделим из членов, содержащих х, полный квадрат линейного двучлена

Далее возьмем члены, содержащие у, т. е. и, преобразуя этот двучлен таким же образом, получим:

После этого данное уравнение запишется так:

Перенося свободные члены вправо, будем иметь:

Сравнивая это уравнение с уравнением окружности (1), усматриваем, что . Таким образом, центром окружности является точка (1, —2) и радиус окружности равен 3. По этим данным мы можем построить окружность.

Пример. Найти координаты центра и радиус окружности Придавая уравнению вид

заключаем, что радиус окружности равен 1, центром же служит точка (1, 0).