§ 10. Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости.
Две прямые в пространстве, вообще говоря, не лежат в одной плоскости. Посмотрим, при каком условии две прямые
лежат в одной плоскости.
Обозначим направляющий вектор первой из них через 
а второй — через 
Как видно из данных уравнений, первая прямая проходит через точку 
радиус-вектор которой мы обозначим через 
. Вторая же прямая проходит через точку 
Радиус-вектор этой точки обозначим через 
Проведем вектор из точки 
в точку 
Он выразится так: 
а проекциями его будут 
Из геометрических соображений ясно, что данные прямые лежат в одной плоскости в том и только в том случае, если эти три вектора 
компланарны. Следовательно, искомое условие заключается в равенстве нулю смешанного произведения этих трех векторов (гл. II, § 14), т. ч.
Переписав это условие в проекциях, получим: 
Пример 1. Составить уравнения прямой, проходящей через точку (1, 1, 1) и пересекающей две данные прямые:
Уравнения искомой прямой, проходящей через точку (1, 1, 1), суть:
Условие нахождения этой прямой с первой из данных прямых в одной плоскости имеет вид:
Условие нахождения искомой прямой со второй из данных прямых в одной плоскости запишется в пиде:
что по сокращении на 2 даст:
Остается определить отношение 
из двух уравнений: 
Разделив каждое из этих уравнений на 
, находим неизвестные:
Подставляя в уравнения искомой прямой вместо 
, соответственно 0, 1, 2, получим окончательные уравнения прямой, проходящей через точку (1, 1, 1) и лежащей в одной плоскости с первой прямой и в одной плоскости со второй прямой;
Легко проверить, что эта прямая действительно пересекается с каждой из двух заданных прямых 
Пример 2. Составить уравнения прямой, проходящей через точку 
пересекающей прямую 
и перпендикулярной к прямой
Уравнения искомой прямой будут:
где отношение 
определяется из условий:
из которых первое есть условие нахождения искомой прямой в одной плоскости с первой из данных прямых (см. пример 1), а второе выражает перпендикулярность искомой прямой со второй из данных прямых. Из этих условий находим:
Уравнения искомой прямой будут:
