§ 11. Полярные координаты.

Для определения положения точки на плоскости, кроме рассмотренной выше декартовой прямоугольной системы координат, довольно часто применяется полярная система координат.

Рис. 24.

Пусть на плоскости даны некоторая точка О (назовем ее полюсом) и проходящая через нее ось ОР (назовем ее полярной осью), а также указана единица масштаба. Будем определять положение произвольной точки М плоскости по отношению к полюсу и полярной оси. Назовем полярным радиусом точки М ее расстояние от полюса и полярным углом точки М угол между полярной осью и направленным отрезком ОМ (рис. 24); условимся, кроме того, угол брать в границах . Тогда, очевидно, каждой точке М плоскости соответствует единственная пара чисел (исключением является полюс, для которого произвольно). Обратно, каждой паре чисел соответствует единственная точка плоскости, для которой является полярным радиусом, а полярным углом. Полярный радиус и полярный угол точки будем называть ее полярными координатами.

Полярные координаты условимся записывать в скобках после буквы, обозначающей точку, указывая сначала , а потом

Пример. Построить точку в полярной системе координат.

Проведем через полюс ось под углом к полярной оси (другими словами, повернем полярную ось на угол — и отложим от полюса в положительном направлении построенной осн отрезок ОА, равный по длине двум единицам. Конец А этого отрезка и будет искомой точкой (рис. 25).

Рис. 25.

Можно установить связь между декартовыми и полярными координатами одной и той же точки. Пусть даны декартова система координат и полярная с полюсом в начале координат и полярной осью, совпадающей с осью абсцисс (рис. 26). Обозначим через х и у декартовы координаты произвольной точки через ее полярные координаты.

Рис. 26.

Мы знаем, что

(гл. I, § 9, формулы (14)) и, с другой стороны,

(гл. I, § 9, формулы (12)).

Поэтому

Формулы (19) выражают декартовы координаты точки М через ее полярные координаты. Чтобы найти полярные координаты точки, зная ее декартовы координаты, возведем обе части каждого из равенств (19) в квадрат и затем сложим их почленно. Получим:

т. е.

откуда

Далее, из равенств (19) получим:

По формуле (21) определяется тангенс полярного угла при этом получаются два значения (напомним, что ), лежащие в разных четвертях. Так как гзтф, то из этих двух значений угла нужно выбрать то, для которого синус имеет тот же знак, что и у.

Пример. Даны декартовы координаты точки Найти полярные координаты. По формулам (20) и (21) имеем

Из двух значений нужно взять так как в данном случае должен иметь отрицательный знак.

Итак, полярные координаты данной точки

Замечание. Для введенных нами полярных координат Однако такое ограничение иногда оказывается стеснительным; в дальнейшем мы будем считать, что могут принимать любые значения от до таком случае построение точки но ее полярным координатам и условимся производить следующим образом.

Проведем через полюс О ось под углом к полярной оси (т. е., другими словами, повернем полярную ось на угол делая, в случае надобности, несколько полных оборотов) и отложим от полюса отрезок ОМ длиною в положительном направлении построенной оси, если и в отрицательном при Конец М этого отрезка будет искомой точкой. Очевидно, при таком построении полярный радиус точки М равен величине направленного отрезка ОМ, лежащего на оси, проведенной под углом к полярной оси. Существенно, что паре любых действительных чисел соответствует единственная точка М. Именно поэтому эти числа и считаются координатами точки.

Заметим еще, что формулы (19) остаются справедливыми не только при , но и в общем случае. Для доказательства этого нужно воспользоваться выражениями проекций направленного отрезка ОМ на оси координат через его величину и угол между осью Ох и осью, на которой лежит этот направленный отрезок (гл. 1, § 9, формулы ). В этом случае при нахождении из формулы радикал можно брать с любым знаком

после этого угол можег быть найден по формуле (21), причем выбирается так, чтобы имел тот же знак, что и (так как ).