ГЛАВА VI. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-го и 3-го ПОРЯДКА

§ 1. Определители 2-го порядка.

Рассмотрим систему двух уравнений первой степени с двумя неизвестными

Чтобы найти решение системы (1), исключим сначала неизвестное у. Для этого умножим первое уравнение на и второе на а затем, вычитая второе уравнение из первого, получим:

Аналогично исключим неизвестное х из системы (1) и найдем:

Если

то из уравнений (2) и (3) получим определенное решение системы (1).

Числитель и знаменатель полученных выражений называются определителями 2-го порядка. Вообще, если имеются четыре числа, расположенных в виде квадратной таблицы

то определителем 2-го порядка, соответствующим этой таблице, называется разность

Для обозначения определителя принимают символ

Числа называют элементами определителя (5); значок указывает номер строки, а алфавитный порядок буквы — номер столбца, на пересечении которых находится рассматриваем элемент. Элементы образуют главную диагональ определителя, а элементы побочную.

Из формулы (5) явствует, что

т. е. при замене строк столбцами величина определителя 2-го порядка не изменяется, а при перестановке столбцов меняет знак ил обратный. Очевидно, решение (4) системы (1) может быть выражено через определители таким образом:

Определитель, стоящий в знаменателе, составлен из коэффициентов при неизвестных системы (1) и носит название определителя этой системы. Определители, стоящие в числителях формул (4), получаются из определителя системы путем замены соответственно первого и второго столбцов свободными членами этой системы.

Итак, если определитель системы (1) не равен нулю, то формулы (4) дают единственное решение этой системы, причем значение неизвестного равно дроби, в знаменателе которой стоит определитель системы, в числителе же определитель, получающийся из определителя системы заменой коэффициентов при определяемом неизвестном свободными членами системы (стоящими в правой части).

Если определитель системы равен нулю, но по крайней мере один из определителей, стоящих в числителях выражений (4) для х и у, отличен от нуля, то система (1) несовместна, т. е. не имеет никакого решения, как это следует из уравнений (2), (3).

В этом случае из равенства нулю определителя системы вытекает, что откуда т. е. коэффициенты при неизвестных пропорциональны. Очевидно, справедливо и обратное — если коэффициенты при неизвестных пропорциональны, то определитель системы равен нулю. Наконец, если

то система (1) неопределенна, т. е. имеет бесконечное множества

решений. В этом случае одно из уравнений (1) есть следствие другого. В самом деле, мы имеем:

или

откуда вытекает, что одно из уравнений системы (1) есть следствие другого.

Таким образом, мы приходим к выводу:

1) если коэффициенты при неизвестных в уравнениях системы (1) непропорциональны, то система совместна и определенна;

2) если коэффициенты при неизвестных пропорциональны, а свободные члены им не пропорциональны, то система несовместна;

3) если пропорциональны коэффициенты при неизвестных и свободные члены, то система неопределенна.

Все эти случаи могут быть истолкованы геометрически, если рассматривать уравнения (1) как уравнения двух прямых линий. В первом случае две прямые пересекаются в определенной точке, координаты которой представляют решение системы (1); во втором случае прямые параллельны и не совпадают; наконец, в третьем случае они сливаются друг с другом.

Пример 1. Решить систему

Определитель этой системы отличен от нуля, и, следовательно, система имеет единственное решение. Чтобы найти его, перенесем свободные члены направо и воспользуемся формулами (4):

Пример 2. Решить систему

Определитель этой системы причем определитель отличен от нуля; следовательно, данная система несовместна, в чем убедимся непосредственно, если умножим первое уравнение на 2.

Пример 3. Решить систему

Определитель зтой системы причем определителя тоже равны нулю; следовательно, данная система неопределенна.

действительно, сокращая второе уравнение на 2, видим, что система приводится к одному уравнению

и, следовательно, имеет бесконечное множество решений:

где у может принимать произвольные значения.

В частности, однородная система

либо имеет определенное решение, либо неопределенна, так как для нее случай несовместимости невозможен. Другими словами, система (6) имеет одно решение (назовем его нулевым решением), если ее определитель отличен от нуля. Если же

то одно из уравнений (6) есть следствие другого; система (6) приводится к одному уравнению, например

и имеет бесконечное множество решений, определяемых с точностью до произвольного множителя k: и отличных от нулевого решения при Геометрически уравнениям (6) соответствуют две прямые линии, проходящие через начало координат, которые либо различны и имеют единственную общую точку в начале координат, либо совпадают.