§ 5. Параметрические уравнения линий.

В некоторых случаях при составлении уравнения линии текущие координаты не связывают одним уравнением, а каждую координату в отдельности выражают в виде функции нового переменного, например t. Получают уравнения вида

Эти уравнения составляются так, что значения х и у, соответствующие одному и тому же значению t, являются координатами точки, лежащей на данной линии.

С изменением t меняются и координаты х и у, а следовательно, соответствующая им точка перемещается по линии. Уравнения (6) называются параметрическими уравнениями линии, a t - неременным параметром.

Если из уравнений (6) исключить параметр t, то получим уравнение между х и у вида

Рис. 31.

Пример. Составим параметрические уравнения окружности радиуса R, центр которой лежит в начале координат (рис. 31). Легко усмотреть, что текущие координаты точки на окружности являются функциями угла , образованного осью Ох и радиусом окружности, проведенным в данную точку. Поэтому примем угол за переменный параметр и выразим через него текущие координаты х и у. При любом положении точки М на окружности будут иметь место равенства

Это и есть параметрические уравнения окружности. При желании из них можно получить уравнение окружности в форме, известной из предыдущего. Для этого нужно исключить параметр Возводя обе части каждого из уравнений в квадрат и складывая, получим: