§ 16. Двойное векторное произведение.

Мы рассмотрели векторно-скалярное произведение; теперь перейдем к векторно-векторному произведению

В первом случае мы получили прекрасное геометрическое истолкование произведения; здесь же мы дадим формулу, значительно облегчающую вычисление. Эта формула имеет вид:

Обозначая искомый результат через D, найдем его проекции . С этой целью сначала определяем проекции вектора АХВ и получаем по формуле (30):

Далее, применяя ту же формулу (30), находим:

Прибавив и вычтя по , получим:

Более кратко последнее выражение запишется так:

Аналогичные формулы получаются и для двух других проекций:

Зная проекции вектора D, пишем самый вектор D:

Внося вместо только что полученные значения, имеем:

или

Заменяя, наконец, D его значением, найдем требуемую формулу (38). Заметим, что в двойном векторном произведении весьма важно различать порядок перемножения. Так, например, вычисляя мы получим совершенно другой вектор, а именно:

Итак, получается формула

Из сопоставления формул (38) и (39) можно вывести следующее правило для запоминания разложения двойного векторного произведения:

Двойное векторное произведение равно произведению среднего вектора на скалярное произведение двух других, минус крайний вектор скобки, умноженный на скалярное произведение двух других. При круговой перестановке векторов А, В, С формула (38) приводит к трем разным векторам:

Складывая вместе три равенства, получим тождество

Одно из применений формулы (39) состоит в выводе разложения данного вектора В на две компоненты, из которых одна параллельна, а другая перпендикулярна к заданному вектору А. В самом деле, положив в формуле найдем:

Решая уравнение относительно В, получим:

Первый из слагаемых векторов правой масти, очевидно, параллелен вектору А, а второй перпендикулярен к нему. Формула (41) для разложения упрощается, если А есть единичный вектор. Тогда и формула (41) примет вид:

Мы разобрали два случая произведений трех векторов; они играют большую роль в векторной алгебре. Произведения четырех и большего числа векторов могут быть сведены к низшим произведениям.

Пример 1. Показать, что если , то

В самом деле:

Умножая вектор но слева на а, получим:

Повторяя ту же операцию, найдем:

что и нужно. Читателю рекомендуется проверить этот результат геометрически. Пример 2. Вычислить .

Обозначая временно произведем в векторно-скалярном произведении перестановку; тогда получим:

или

В частности, при найдем: .