§ 9. Точка пересечения трех плоскостей.

Чтобы найти координаты точки пересечения трех плоскостей, данных своими уравнениями

нужно решить эти уравнения совместно относительно х, у и z, так как координаты точки пересечения должны одновременно удовлетворять уравнениям всех трех плоскостей.

Пример. Найти точку пересечения плоскостей.

Решая эти уравнения совместно, получим координаты искомой точки:

Полное решение этой задачи в общем виде может быть дачо при помощи определителей. Согласно результатам исследования, произведенного в § 7 гл. VI ч. 1, имеем: если определитель

отличен от нуля, то три плоскости пересекаются в единственной точке; если определитель Д равен пулю, но по крайней мере один из его миноров отличен от нуля, то три плоскости либо не имеют общей точки, либо пересекаются в бесконечном множестве точек. В первом случае среди определителей 3-го порядка, принадлежащих таблице

есть по крайней мере один, отличный от нуля, и тогда одна из плоскостей параллельна линии пересечения двух других. Во втором случае все определители 3-го порядка этой таблицы равны нулю и все три плоскости проходят через одну прямую.

Если, наконец, вместе с определителем А все его мшюры равны нулю, то три плоскости либо не имеют общей точки, либо пересекаются в бесконечном множестве точек. В первом случае среди определителей 2-го порядка, принадлежащих выписанной таблице, есть хоть один, отличный от нуля, и тогда все три плоскости параллельны между собой; во втором же случае все определители 2-го порядка этой таблицы равны нулю и три плоскости совпадают.

Рис. 114.