§ 13. Векторное произведение векторов, заданных проекциями.
Обозначая через 
проекции вектора А, а через 
проекции вектора В, выразим через них векторное произведение А на В:
По свойству распределительности суммы векторов умножаются как многочлены. Следовательно, получаем:
Так как i, k представляют три взаимно перпендикулярных единичных вектора и вращение от j к k представляется с конца вектора i совершающимся против часовой стрелки (см. рис. 106), то
следовательно, в полученном выражении (28) для 
пропадут три слагаемых, остальные же соединятся попарно, и окончательная формула будет:
Формулу (30) можно записать также в символической, легко запоминаемой фэрме, если воспользоваться понятием определителя 3-го порядка:
Для практических вычислений можно рекомендовать такой порядок:
Рис. 106.
1) составляем таблицу из двух строк и трех столбцов, подписывая проекции множителя под проекциями множимого;
2) для получения первой проекции произведения закрываем в этой таблице первый столбец и вычисляем оставшийся определитель 2-го порядка; чтобы получить вторую проекцию произведения, закрываем второй столбец и оставшийся определитель берем с обратным знаком; наконец, для получения третьей проекции произведения закрываем в нашей таблице третий столбец и берем оставшийся определитель 2-го порядка со своим знаком.
Например, если сомножители суть 
то, пользуясь таблицей
находим проекции 
.
Заметим, что в силу (30) условие (22) 
параллельности векторов 
может быть выражено равенствами
или
т. е. если векторы коллинеарны, то их проекции пропорциональны, и обратно.
Заметим, что переход от (32) к (32) мы могли сделать, лишь если ни одно из чисел 
не обращалось в 0. Однако в силу того, что равенства (32) имеют значительно более простой вид и постоянно применяются в дальнейшем, мы будем писать их даже и в тех случаях, когда некоторые из знаменателей равны 0. Такую запись нужно понимать, конечно, не буквально (так как на 0 делить нельзя), а условно, просто как удобную сокращенную форму записи равенств (32). Таким образом, (32) будет в дальнейшем означать то же самое, что и (32).
Так, например, равенства
показывают, что 
, т. е. что 
Пример 1. Найти площадь треугольника ABC с вершинами в точках 
Так как вектор АВ имеет проекции 
а вектор АС имеет проекции 
Пример 2. Определить синус угла А треугольника ABC с вершинами 
Так как векторы АВ и АС имеют соответственно проекции 2, 2, 2 и 1, 2, 4, то
угол следует взять острым, если 
и тупым, если 
. В данном случае угол А острый.
