§ 8. Основные положения теории проекций.

Ранее уже отмечалось, что проекцией точки М на ось называется основание перпендикуляра, опущенного из точки М на данную ось (рис. 14).

Пусть на плоскости дан направленный отрезок АВ и некоторая ось l (ось проекций) (рис. 15). Будем рассматривать этот отрезок как путь, проходимый движущейся точкой М.

Рис. 14.

Рис. 15.

При движении точки М по отрезку АВ ее проекция на ось опишет некоторый направленный отрезок называемый геометрической проекцией направленного отрезка АВ на ось.

Однако в дальнейшем основную роль будет играть не геометрическая проекция отрезка, а ее величина, называемая проекцией отрезка на ось.

Итак, проекцией направленного отрезка на ось называется величина направленного отрезка оси, началом которого является проекция начальной точки проектируемого отрезка, а концом — проекция конечной точки этого отрезка.

Заметим, что проекция направленного отрезка является числом (положительным, отрицательным или равным нулю). Условимся проекцию направленного отрезка АВ на ось l обозначать пр, АВ или, короче, АВ.

Установим основные положения теории проекций.

Проекция направленного отрезка АВ на ось l равна произведению длины АВ этого отрезка на косинус угла а между осью проекций и данным отрезком:

Справедливость формулы (9) достаточно доказать в предположении, что ось проекций проходит через начало проектируемого отрезка. Действительно, проекция отрезка АВ не изменится, если ось проекций перенести параллельно самой себе. При этом угол

между осью проекций и направленным отрезком также сохранит прежнее значение.

Пусть ось проекций I проходит через начало проектируемого отрезка АВ (рис. 16).

Для доказательства равенства (9) построим тригонометрическую окружность с центром в точке А радиусом, равным длине отрезка АВ, и будем считать, что ее начальный диаметр направлен по оси l (рис. 16). По определению косинуса имеем:

Так как

то

откуда

Рис. 16.

Равенство (9) доказано.

Предположим теперь, что направленный отрезок АВ лежит на некоторой оси и; пусть — угол между осью проекций t и осьо и.

Проекция направленного отрезка АВ на ось l равна произведению величины этого отрезка на косинус угла между осью проекций l и осью и, на которой дан отрезок:

Рис. 17.

Заметим, что в этой формуле проекция выражена через величину направленного отрезка, расположенного на некоторой оси, тогда как в формуле (9) используется длина отрезка. Докажем равенство (10). В том случае, когда направление отрезка АВ совпадает с положительным направлением оси и (рис. 17), равенство (10) непосредственно следует из уже доказанного равенства (9). Действительно, в рассматриваемом случае угол является в то же время углом а между осью проекций и отрезком; следовательно,

Учитывая, кроме того, что в данном случае

получим:

Если же направление отрезка АВ противоположно направлению оси и (рис. 18), то угол а между осью проекций и отрезком АВ равен (действительно, если повернуть ось l сначала на угол а затем дополнительно на угол , то ее положительное направление совпадет с отрицательным направлением оси и, т. е. с направлением отрезка АВ). Следовательно,

Рис. 18.

Учитывая, что в рассматриваемом случае , получим:

Таким образом, равенство (10) доказано полностью.

Возьмем теперь произвольную ломаную линию ABCDEF (рис. 19). Будем рассматривать эту ломаную как траекторию точки М, описывающей последовательно все звенья ломаной от начальной ее точки А до конечной F. При этом на ломаной установится направление обхода, а звенья ее можно будет рассматривать как направленные отрезки.

Рис. 19.

Такую ломаную будем называть направленной ломаной. Направленную ломаную, соединяющую последовательно точки , обозначим через ABCDEF.

При перемещении точки М по направленной ломаной ABCDEF проекция этой точки на ось переместится по оси из точки а — проекции точки А — в точку -проекцию точки F. Направленный отрезок оси проекций называется геометрической проекцией направленной ломаной ABCDEF на ось.

Величину геометрической проекции направленной ломаной назовем проекцией направленной ломаной. Таким образом, проекцией направленной ломаной на ось называется величина направленного отрезка оси, началом которого является проекция начальной точки проектируемой ломаной, а концом — проекция конечной точки этой ломаной.

Заметим, что проекция направленной ломаной на ось является числом.

Легко показать, что проекция направленной ломаной равна сумме проекций ее звеньев. Действительно, проектируя на ось каждое звено ломаной ABCDEF (рис. 19), мы получим:

(гл. 1, § 1) или, если обозначить проекцию ломаной через пр ABCDEF,

Далее ясно, что проекция направленной ломаной не зависит от ее формы, а зависит лишь от положения ее начальной и конечной точек, поэтому проекции двух направленных ломаных с общими началом и концом равны между собой (рис. 20).

Рис. 20.

Рис. 21.

Назовем замыкающим отрезком ломаной линии направленный отрезок, началом которого является начальная точка рассматриваемой ломаной, а концом — конечная ее точка. Очевидно, проекция направленной ломаной равна проекции ее замыкающего отрезка (рис. 21).

Если ломаная линия замкнута, т. е. ее начало и конец совпадают, то ее проекция равна нулю.