Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 8. Основные положения теории проекций.Ранее уже отмечалось, что проекцией точки М на ось называется основание Пусть на плоскости дан направленный отрезок АВ и некоторая ось l (ось проекций) (рис. 15). Будем рассматривать этот отрезок как путь, проходимый движущейся точкой М.
Рис. 14.
Рис. 15. При движении точки М по отрезку АВ ее проекция Однако в дальнейшем основную роль будет играть не геометрическая проекция отрезка, а ее величина, называемая проекцией отрезка на ось. Итак, проекцией направленного отрезка на ось называется величина направленного отрезка оси, началом которого является проекция начальной точки проектируемого отрезка, а концом — проекция конечной точки этого отрезка. Заметим, что проекция направленного отрезка является числом (положительным, отрицательным или равным нулю). Условимся проекцию направленного отрезка АВ на ось l обозначать пр, АВ или, короче, Установим основные положения теории проекций. Проекция направленного отрезка АВ на ось l равна произведению длины АВ этого отрезка на косинус угла а между осью проекций и данным отрезком:
Справедливость формулы (9) достаточно доказать в предположении, что ось проекций проходит через начало проектируемого отрезка. Действительно, проекция отрезка АВ не изменится, если ось проекций перенести параллельно самой себе. При этом угол между осью проекций и направленным отрезком также сохранит прежнее значение. Пусть ось проекций I проходит через начало проектируемого отрезка АВ (рис. 16). Для доказательства равенства (9) построим тригонометрическую окружность с центром в точке А радиусом, равным длине отрезка АВ, и будем считать, что ее начальный диаметр направлен по оси l (рис. 16). По определению косинуса имеем:
Так как
то
откуда
Рис. 16. Равенство (9) доказано. Предположим теперь, что направленный отрезок АВ лежит на некоторой оси и; пусть Проекция направленного отрезка АВ на ось l равна произведению величины этого отрезка на косинус угла
Рис. 17. Заметим, что в этой формуле проекция выражена через величину направленного отрезка, расположенного на некоторой оси, тогда как в формуле (9) используется длина отрезка. Докажем равенство (10). В том случае, когда направление отрезка АВ совпадает с положительным направлением оси и (рис. 17), равенство (10) непосредственно следует из уже доказанного равенства (9). Действительно, в рассматриваемом случае угол
Учитывая, кроме того, что в данном случае
получим:
Если же направление отрезка АВ противоположно направлению оси и (рис. 18), то угол а между осью проекций и отрезком АВ равен (действительно, если повернуть ось l сначала на угол
Рис. 18. Учитывая, что в рассматриваемом случае
Таким образом, равенство (10) доказано полностью. Возьмем теперь произвольную ломаную линию ABCDEF (рис. 19). Будем рассматривать эту ломаную как траекторию точки М, описывающей последовательно все звенья ломаной от начальной ее точки А до конечной F. При этом на ломаной установится направление обхода, а звенья ее можно будет рассматривать как направленные отрезки.
Рис. 19. Такую ломаную будем называть направленной ломаной. Направленную ломаную, соединяющую последовательно точки При перемещении точки М по направленной ломаной ABCDEF проекция Величину геометрической проекции направленной ломаной назовем проекцией направленной ломаной. Таким образом, проекцией направленной ломаной на ось называется величина направленного отрезка оси, началом которого является проекция начальной точки проектируемой ломаной, а концом — проекция конечной точки этой ломаной. Заметим, что проекция направленной ломаной на ось является числом. Легко показать, что проекция направленной ломаной равна сумме проекций ее звеньев. Действительно, проектируя на ось каждое звено ломаной ABCDEF (рис. 19), мы получим:
(гл. 1, § 1) или, если обозначить проекцию ломаной через пр ABCDEF,
Далее ясно, что проекция направленной ломаной не зависит от ее формы, а зависит лишь от положения ее начальной и конечной точек, поэтому проекции двух направленных ломаных с общими началом и концом равны между собой (рис. 20).
Рис. 20.
Рис. 21. Назовем замыкающим отрезком ломаной линии направленный отрезок, началом которого является начальная точка рассматриваемой ломаной, а концом — конечная ее точка. Очевидно, проекция направленной ломаной равна проекции ее замыкающего отрезка (рис. 21). Если ломаная линия замкнута, т. е. ее начало и конец совпадают, то ее проекция равна нулю.
|
1 |
Оглавление
|