§ 14. Векторно-скалярное произведение.

Выясним, что можно сказать о произведении трех векторов. Если мы умножим скалярно два вектора А и В, то их произведение будет скаляром. При умножении третьего вектора С на этот скаляр мы получим вектор, коллинсарный вектору С.

Совсем иное дело будет, если мы перемножим два вектора векторно; в результате мы получим снова вектор А X В. Представляется интересным исследовать дальнейшие произведения, как скалярное, так и векторное, этого вектора на новый вектор С. В первом случае мы будем иметь векторно-скалярное произведение а во втором случае двойное векторное произведение

Рис. 107.

Векторно-скалярное произведение называется также смешанным произведением и обозначается (ABC) или

Для приложения векторно-скалярного произведения весьма важным является уяснить себе его геометрический смысл. Пусть рассматриваемые векторы А, В и С некомпланарны. Векторное произведение есть вектор Е, по длине численно равный площади параллелограмма OADB, построенного на векторах А и В, и направленный перпендикулярно к плоскости параллелограмма (рис. 107).

Скалярное произведение есть произведение длины Е первого множителя на проекцию второго вектора С на первый. Эта проекция как проекция вектора С на перпендикуляр к плоскости равна расстоянию точки С (конца вектора С) от плоскости параллелограмма OADB, взятому со знаком или

Построим параллелепипед на векторах А, В, С как на ребрах. Высота этого параллелепипеда есть абсолютная величина нашей проекции а площадь основания — параллелограмма OADB — численно равна длине вектора Е.

Итак, произведение по абсолютной величине равно произведению площади основания параллелепипеда на его высоту, т. е. измеряет объем параллелепипеда.

При этом важно отметить, что наше скалярное произведение дает объем параллелепипеда иногда с положительным, а иногда

с отрицательным знаком. Положительный знак получается, если угол между векторами Е и С острый; отрицательный — если он тупой. При остром угле между Е и С вектор С расположен по ту же сторону плоскости OADB, что и вектор Е, и, следовательно, из его конца С вращение от А к В будет видно так же, как и из точки Е, т.е. в положительном направлении (против часовой стрелки).

При тупом угле между Е и С вектор С расположен по другую сторону плоскости OADB, чем вектор Е, и, следовательно, из его конца С вращение от А к В будет видно в отрицательном направлении (по часовой стрелке). Иными словами, произведение (ABC) положительно, если векторы А, В и С образуют систему, одноименную с основной (взаимно расположены так же, как оси х, у, z), и оно отрицательно, если векторы А, В и С образуют систему, разноименную с основной.

Итак, мы получили следующую теорему:

Векторно-скалярное произведение трех некомпланарных векторов есть число, абсолютная величина которого выражает объем параллелепипеда, построенного на векторах А, В, С, как на ребрах. Знак произведения положителен, если векторы А, В, С образуют систему, одноименную с основной, и отрицателен в противном случае.

Рис. 108.

Из этой теоремы следует, что абсолютная величина произведения . С останется та же, в каком бы порядке мы ни брали сомножители А, В, С. Что касается знака, то он будет в одних случаях положительным, в других — отрицательным; это зависит от того, образуют ли наши три вектора, взятые в определенном порядке, систему, одноименную с основной, или нет. Заметим, что у нас оси координат расположены так, что они следуют одна за другой против часовой стрелки, если смотреть во внутреннюю часть трехгранного угла (рис. 108).

Порядок следования не нарушится, если мы начнем обход со второй оси или с третьей, лишь бы он совершался в том же направлении, т. е. против часовой стрелки. При этом наши множители переставляются в круговом порядке. Таким образом, получаем теорему:

Круговая перестановка трех сомножителей векторно-скалярного произведения не меняет его величины. Перестановка двух соседних сомножителей меняет знак произведения:

При каких условиях векторно-скалярное произведение может обратиться в нуль? Очевидно: а) если среди сомножителей есть

хотя бы один нулевой вектор; б) если по крайней мере два из перемножаемых векторов коллинеарны (и, следовательно, их векторное произведение равно нулевому вектору), в частности:

в) если три вектора А, В, С компланарны (параллельны одной и той же плоскости), потому что тогда и, следовательно:

Объединяя все три случая, можем сказать, что (АВС) если векторы А, В, С компланарны. Обратно, пусть (АВС) Тогда, если никакой из векторов не является нулевым и иикакие два из векторов не коллинеарны, АХ В и С должны быть перпендикулярны, так как их скалярное произведение равно нулю, а так как, кроме того, перпендикулярен к А и В, то векторы А, В, С компланарны. Следовательно, можно утверждать, что равенство

есть необходимое и достаточное условие компланарности векторов А, В, С.

Отсюда, в частности, следует, что формулы (33), доказанные для нскомпланарных векторов, остаются справедливыми и в случае их компланарности.

Пример 1. Показать, что объем треугольной пирамиды равен -i- абсолютной величины векторно-скаляриого произведения, составленного из трех векторов-ребер, выходящих из одной вершины.

В самом деле, объем треугольной пирамиды ABCD можно рассматривать как объема параллелепипеда, построенного на векторах АВ, AC, AD, как на ребрах:

Пример 2, Раскрыть скобки в выражении

Это выражение представляет . Векторное произведение будет равно:

Умножая его скалярно на (С А), получим: