§ 6. Уравнения линии в пространстве.

Всякую линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей. Пусть

суть уравнения тех поверхностей, пересечение которых дает линию L. Координаты любой точки линии L удовлетворяют обоим уравнениям (7), так как эта точка лежит одновременно на обеих поверхностях. Итак, линия в пространстве рассматривается как геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют системе двух уравнений (7). Обратно, система двух уравнений (7) определяет линию в пространстве как геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют этой системе уравнений. Уравнения (7) называют уравнениями линии L в пространстве.

Очевидно, можно различным образом выбирать те поверхности, пересечением которых является данная линия L, и это обстоятельство соответствует тому факту, что вместо системы (7) можно взять любую другую систему двух уравнений, ей равносильную. Так, например, уравнения оси Oz будут:

Уравнения

также определяют ось Oz.

Проведем через линию L две цилиндрические поверхности с образующими, параллельными осям Уравнения этих цилиндрических поверхностей будут иметь вид (§ 5):

Так как линию L можно рассматривать как пересечение этих цилиндрических поверхностей, то система уравнений

определяет линию L. Каждое из уравнений (8), рассматриваемое в соответствующей плоскости координат, представляет, следовательно, проекцию данной линии L на плоскости Аналитически уравнения (8) получаются уравнений (7) путем исключения переменных у и

Пример. Написать уравнения окружности, получающейся в пересечении сферы с плоскостью

Искомое уравнения окружности будут:

Одно первое уравнение последней системы на плоскости координат хОу изображает окружность, являющуюся проекцией искомой окружности на эту плоскость. Эта проекция совпадает по размерам с искомой окружностью, так как последняя лежит в плоскости, параллельной плоскости проекций.