Упражнения

1. Даны две прямоугольные декартовы системы координат с одинаковыми направлениями осей. Радиус-вектор нового начала координат Найти зависимость между радиусами-векторами произвольной точки относительно старой и новой систем.

2. Даны две прямоугольные декартовы системы координат с общим началом. Найти выражения координат произвольной точки относительно старой системы через координаты , той же точки в новой системе.

3. Найти формулы преобразования прямоугольных декартовых координат в общем случае.

4. Доказать, что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам, то четырехугольник есть параллелограмм.

5. Найти радиус-вектор точки пересечения медиан треугольника, вершины которого заданы векторами Выразить также ответ в координатах.

6. Найти радиус-вектор, а также координаты центра тяжести системы трех материальных точек в которых сосредоточены массы

7. Доказать перпендикулярность векторов

8. Найти длину и направление вектора

9. Найти проекцию вектора на направление вектора

10. Дан параллелограмм ОАСВ: . Дать геометрическое истолкование формул:

Какое значение имеет последнее из этих равенств для ромба?

И. Доказать, что вектор перпендикулярен к вектору с.

12. Доказать, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке.

13. Какой угол составляют между собой два вектора:

14. Определить угол между векторами а и b, если вектор перпендикулярен к вектору а вектор перпендикулярен к вектору

15. Вывести формулу для косинуса суммы двух углов.

16. Дано, что ; можно ли отсюда заключить, что

17. Вывести формулу для .

18. Найти величину площади параллелограмма, сторонами которого являются векторы

19. Вычислить площадь треугольника, вершины которого находятся в точках .

20. Найти площадь треугольника ABC, если известны проекции его сторон

21. При обозначениях задачи 20 найти синус угла С.

22. Вычислить векторно-скалярное произведение

23. Показать, что

24. Показать, что векторы компланарны.

25. Проверить, что четыре точки лежат в одной плоскости.

26. Вершины треугольной пирамиды находятся в точках: . Вычислить ее объем,

27. При данных задачи 26 найти длину высоты, опущенной из вершины .

28. Даны векторы . Вычислить .

29. Найти кратчайшее расстояние между двумя прямыми, если одна проходит через точку параллельно вектору а другая проходит через точку параллельно вектору

30. Найти расстояние от точки до прямой, проходящей через точку параллельно вектору