§ 7. Угол между двумя прямыми.
Пусть даны две прямые (I) и (И). Углом между прямыми (I) и (11), рассматриваемыми в указанном порядке, будем называть тот угол, на который нужно повернуть прямую (1), чтобы она совпала с (И) (или стала ей параллельна). Знак угла устанавливается по обычному правилу. Так как при добавочном повороте на угол 
прямая снова займет начальное положение, то ясно, что угол между прямыми (1) и (11) определяется не однозначно (с точностью до слагаемого, кратного 
). Одно из значений угла можно всегда выбрать так, чтобы оно было неотрицательным и меньшим 
. Практически это значение угла обычно и рассматривается.
Пусть прямые (I) и (II) заданы уравнениями
и
Обозначим через 
угол наклона прямой (I) к оси Ох и через 
угол, на который нужно повернуть прямую (I) до совпадения с (II) (рис. 45). Тогда
будет, очевидно, углом наклона прямой (II) к оси 
Отсюда
и если прямые (I) и (II) не являются перпендикулярными, то (по известной формуле тригонометрии)
Заметив, что 
получим:
Рис. 45.
Замечание 1. Формула (9) определяет тангенс угла, образованного вращением вокруг точки М прямой с угловым коэффициентом 
до совмещения ее с прямой, имеющей угловой коэффициент 
. Это можно запомнить, записывая формулу так:
Замечание 2. Если речь идет об угле между двумя прямыми и не указан порядок, в котором они рассматриваются, то можно устанавливать этот порядок произвольно. Очевидно, изменение порядка повлечет за собой изменение знака для тангенса угла.
Замечание 3. Если хотя бы одна из данных прямых параллельна оси Оу, то формула (9) не имеет смысла. В этом случае, считая, например, что параллельна оси Оу вторая прямая, угол между прямыми вычислим по формуле
Пример 1. Найти угол между прямыми 
Если перенумеровать прямые в том порядке, как они заданы, то угловой коэффициент прямой (I) будет 
а для прямой (II) будет 
Тогда по формуле (9) полупим 
откуда 
.
Здесь 
Угловой коэффициент первой прямой равен а угол ее наклона к оси Ох равен 
. Согласно замечанию 3
