§ 3. Геометрический смысл уравнения первой степени между двумя переменными.
В предыдущем параграфе было показано, что в декартовой системе координат всякая прямая может быть представлена уравнением первой степени. Естественно теперь поставить обратный вопрос: всякое ли уравнение первой степени относительно переменных х и у определяет прямую? Чтобы ответить на этот
вопрос, рассмотрим уравнение первой степени общего вида и выясним, каково геометрическое место тех точек плоскости, координаты 
которых удовлетворяют этому уравнению. Мы покажем, что искомым геометрическим местом точек является прямая линия.
Общее уравнение первой степени относительно х и у имеет вид:
Здесь А, В и С — произвольные числа; при этом, конечно, коэффициенты А и В при переменных не могут быть одновременно равны нулю (иначе уравнение (5) не содержало бы переменных х и у и не было бы уравнением).
Разрешим уравнение (5) относительно (предполагая, что 
Получим:
или, вводя обозначения 
Но мы видели в предыдущем параграфе, что уравнение (1) является уравнением прямой линии, имеющей угловой коэффициент к и отсекающей на оси ординат отрезок величиной b.
Наши рассуждения мы проводили в предположении, что коэффициент В в уравнении (5) отличен от нуля. Если же 
то уравнение (5) имеет вид:
В таком случае, решая это уравнение относительно х, получим:
или, вводя обозначение 
Но мы уже видели ранее (§ 2), что уравнение (2) является уравнением прямой линии, параллельной оси 
Таким образом, вопрос, поставленный в начале этого параграфа, решен: мы показали, что всякое уравнение первой степени относительно текущих координат определяет прямую линию. В соответствии с этим уравнение (5) называется общим уравнением прямой.
Подводя итог изложенному в §§ 1 и 2 этой главы, мы можем сказать, что прямая линия, и только она, может быть представлена в декартовой системе координат уравнением перьий степени относительно текущих координат х и у.
Замечание. Для приведения уравнения первой степени к виду (1) нужно решить его относительно у. Тогда коэффициент при 
в таком уравнении будет угловым коэффициентом прямой, а свободный член будет давать величину отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат. Этот вид уравнения прямой особенно важен. Из изложенного следует, что графиком линейной функции от х, т. е. многочлена первой степени относительно х, является прямая линия, и обратно, если графиком некоторой функции от 
является прямая линия, то эта функция может быть записана в виде многочлена первой степени от 
Отсюда происходит название: линейная функция («прямолинейная»).
Пример. Написать уравнение с угловым коэффициентом для прямой линии, заданной уравнением 
Разрешив данное уравнение относительно у, получим:
Отсюда следует, что угловой коэффициент прямой 
а величина отрезка, отсекаемого ею на оси ординат, 
