§ 14. Нормальное уравнение прямой линии.
Пусть на плоскости дана какая-нибудь прямая линия. Проведем через начало координат прямую I перпендикулярно к данной; выберем на ней положительное направление от начала координат в сторону данной прямой (если данная прямая проходит через начало координат, то положительное направление на прямой 
можно выбрать произвольно). Положение данной прямой относительно осей координат можно охарактеризовать, указав ее расстояние 
от начала координат и угол а между осью Ох и осью 
(рис. 46). Составим уравнение этой прямой.
Рис. 46.
Пусть 
— произвольная точка прямой. Построим координатные отрезки точки М, рассмотрим направленную ломаную ORMP и возьмем ее проекцию на ось l. Так как проекция ломаной линии на ось равна проекции ее замыкающего отрезка (гл. I, § 8), то
С другой стороны, проекция ломаной линии равна сумме проекций ее звеньев (гл. 1, § 8), т. е.
Сравнивая (22) и (22), получим:
Так как проекция направленного отрезка на ось равна его величине, умноженной на косинус угла между осью проекций и осью, на которой расположен отрезок (гл. 1, § 8), то
Учитывая, кроме того, что
и подставляя найденные значения в равенство 
получим:
или
Этому уравнению удовлетворяют координаты х, у любой точки рассматриваемой прямой линии. Если же точка не лежит на данной примой, то ее координаты этому уравнению удовлетворять не будут, так как в этом случае проекция соответствующей ломаной на ось l не будет равна 
. Следовательно, уравнение (23) является уравнением данной прямой.
Уравнение вида (23) называется нормальным уравнением прямой. Заметим, что нормальное уравнение прямой характеризуется двумя особенностями:
1) свободный член его
2) сумма квадратов коэффициентов при текущих координатах равна единице
Как бы ни располагалась прямая относительно координатных осей, ее уравнение всегда можно записать в нормальном виде.
