§ 4. Сфера.

Мы видели, что сфера радиуса R с центром в точке имеет уравнение

Раскрывая скобки, придадим уравнению (2) вид:

Уравнение (2) содержит члены второго измерения, первого измерения и свободный член (нулевого измерения) относительно х, у и z. Такое уравнение называют уравнением второй степени. Итак, сфере соответствует уравнение второй степени относительно текущих координат. Но, очевидно, не всякое уравнение второй степени определяет сферу. Действительно, из уравнения (2) усматриваем, что в уравнении сферы коэффициенты при квадратах координат равны, а члены с произведениями координат ) отсутствуют. Обратно, если осуществлены два условия: 1) равенство коэффициентов при отсутствие членов то уравнение определяет сферу, так как оно приводится к виду (2) путем деления на коэффициент при

Итак, по виду данного уравнения второй степени мы можем решить, определяет оно сферу или нет. Например, уравнение

определяет сферу, так как в нем коэффициенты при квадратах координат равны между собой, а члены с произведениями координат отсутствуют. Желая узнать размер сферы и положение ее в пространстве относительно данной системы координат, мм должны определить величину радиуса и координаты ее центра. С этой целью данное уравнение мы приведем к виду (2). Такое преобразование есть не что иное, как представление уравнения (2) в виде (2). Возьмем в данном примере члены, содержащие и дополним этот двучлен до полного квадрата разности Получим:

Аналогично поступая с членами, содержащими у и , получим:

После этого данное уравнение запишется так:

Сравнивая это уравнение с уравнением (2), усматриваем, что