§ 4. Поверхности вращения.

Положим, что в плоскости нам дана линия L, имеющая уравнение

Найдем уравнение поверхности, полученной от вращения этой линии вокруг оси Оу (рис. 119).

Возьмем произвольную точку нашей поверхности и проведем через нее плоскость перпендикулярно к оси вращения Оу, Очевидно, в пересечении этой плоскости и нашей поверхности получится окружность с центром N на оси вращения. Координаты точки будут . Радиус окружности MN как расстояние между точками . И равен . С другой сторона, ясно, что этот радиус является абсолютной величиной аппликаты той точки данной линии L, ордината которой есть у. Следовательно, полагая и данном уравнении

(координаты точки ), мы получим искомое уравнение поверхности вращения;

Таким образом, мы приходим к следующему правилу:

Рис. 119.

Чтобы получить уравнение поверхности, образованной вращением линии L, лежащей в плоскости вокруг оси Оу, нужно в уравнении этой линии заменить z на

Аналогичные правила будут иметь место и по отношению к поверхностям, полученным вращением плоских линий вокруг других координатных осей.

Пример 1. Уравнение поверхности, образованной вращением эллипса

вокруг оси Ох, будет;

Если тот же эллипс вращается вокруг оси то уравнение полученной таким образом поверхности вращения будет иметь вид:

Если то в первом случае имеем удлиненный, а во втором случае сжатый эллипсоид вращения. При получаем сферу.

Пример 2. Уравнение поверхности, образованной вращением гиперболы

вокруг оси Ох, будет:

Это — так называемый двуполостный гиперболоид вращения.

Если ту же гиперболу будем вращать вокруг оси то полученная таким образом поверхность будет иметь уравнение

Это — так называемый однополостный гиперболоид вращения.

Пример 3. Уравнение поверхности, образованной вращением параболы

вокруг оси будет:

Это — так называемый параболоид вращения.