§ 2. Геометрический смысл уравнений.

Мы видели, что всякая линия, рассматриваемая как геометрическое место точек, определяется уравнением между координатами ее точек. Обратно, всякое уравнение между двумя переменными х и у, вообще говоря, определяет линию как геометрическое место точек, координаты которых к у ему удовлетворяют. В самом деле, рассмотрим какое-нибудь уравнение между переменными х и у. Перенося все его члены в левую часть, придадим уравнению вид:

где F означает символ функции двух переменных. Пусть при любом фиксированном числовом значении уравнение (4), рассматриваемое

как уравнение относительно неизвестного у, имеет, например, два действительных корня.

Дадим переменному произвольное числовое значение и найдем из уравнения (4) соответствующие значения у. Для определения у получаем уравнение с одним неизвестным:

Пусть это уравнение имеет корни, например, Отметим на рис. 28 две точки координаты которых удовлетворяют данному уравнению (4).

Рис. 28.

Дадим теперь переменному другое числовое значение и определим соответствующие значения из уравнения

Пусть корни этого уравнения будут Отметим на рис. 28 две точки коордииаты которых удовлетворяют данному уравнению. Если переменное мы будем непрерывно изменять от значения а до значения то прямая LN будет перемещаться параллельно самой себе, отправляясь от положения PQ и приходя в положение PQ, причем в любом ее положении на ней будут две точки, координаты которых удовлетворяют данному уравнению (4). Таким образом, точки М и М описывают линию. Эта линия получается в результате двух движений: с одной стороны, движения прямой LN параллельно самой себе (изменение ), а с другой — движения точек и М по этой прямой (изменение ).

Итак, уравнение (4) между координатами х и у определяет линию как геометрическое место тех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Рассмотрим несколько примеров на построение линий, заданных уравнениями.

Пример 1. Построить лииию, определяемую уравнением

Рис. 29.

Уравнение можно переписать в виде:

Очевидно, геометгжческое место точек, для которых абсцисса равна ординате, представляет собой биссектрису и III координатных углов (рис. 29). Уравнение определяет, следовательно, эту биссектрису.

Пример 2. Построить линию, определяемую уравнением

Легко видеть, что геометрическим местом точек, для которых х, будет биссектриса CD II и IV координатных углов. Следовательно, уравнение является уравнением этой биссектрисы (рис. 29).

Пример 3. Построить линию, определяемую уравнением

Выразим из этого уравнения одну из координат через другую (например, у через х): .

Будем давать различные произвольные значения, например —4, —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3, 4, и находить соответствующие значения у. Таким образом, мы получим ряд точек, нанесем на плоскость и соединим плавной линией (рис. 30). Это и будет искомая кривая.

Рис. 30.

Рассмотрим еще некоторые особые виды уравнений.

1) Уравнение может содержать только одну из текущих координат и тем не менее определять некоторую линию.

Пусть, например, дано уравнение или Геометрическим местом точек, ординаты которых равны 2, будет, очевидно, прямая, параллельная оси Ох и отстоящая от нее на расстоянии двух единиц. Аналогично уравнение определяет прямую, параллельную оси

2) Если левая часть уравнения разлагается на множители, то, приравнивая нулю каждый множитель в отдельности, иолучим несколько новых уравнений, каждое из которых может определять некоторую линию. Например, уравнение или определяет пару прямых — биссектрис координатных углов.

3) В частности, может случиться, что уравнение между координатами х и у определяет геометрическое место, состоящее из одной или нескольких отдельных точек. Так, например, уравнение определяет точку уравнению

соответствует геометрическое место, состоящее из четырех точек:

4) Может, наконец, случиться, что уравнение не определяет никакого геометрического места точек. Так, папример, уравнение

не удовлетворяется ни одной парой действительных значений координат х и у.

Если уравнение удовлетворяется, как в только что приведенном примере, лишь в том случае, когда хотя бы одно из переменных

имеет мнимое значение, то говорят, что уравнению соответствует мнимое место точек.