§ 5. Расстояние между двумя точками на плоскости.

В §§ 5, 6 и 10 этой главы мы рассмотрим некоторые простейшие задачи аналитической геометрии, к которым часто приводятся многие более сложные задачи. Одной из таких задач является задача о расстоянии между двумя точками.

Рис. 8.

Пусть в выбранной на плоскости прямоугольной системе координат заданы две точки Выразим расстояние d между этими двумя точками через их координаты.

Найдем проекции точек А и В на координатные оси (рис. 8). Будем иметь:

Через одну из данных точек, например А, проведем прямую параллельно оси абсцисс до пересечения в точке С с прямой

Из прямоугольного треугольника АСВ получим:

(здесь АС и СВ — длины сторон треугольника АСВ). Но так как

и

(гл. 1, § 3), то

или

откуда

Ясно, что здесь нужно брать арифметическое значение корня.

Таким образом, расстояние между двумя данными точками равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одноименных координат этих точек.

Замечание. Если данные точки А к В будут располагаться на прямой, параллельной координатной оси, то треугольника ABC мы не получим, однако формула (3) и в эгом случае будет справедлива. Действительно, если, например, точки А к В будут лежать на прямой, параллельной оси Ох, то, очевидно, (гл. I, § 3). Это же получится и из формулы (3), так как в этом случае

Расстояние точки от начала координат согласно формуле (3) будет

Пример. Найти расстояние между точками .

Искомое расстояние вычисляется по формуле (3). Здесь Следовательно,