§ 4. Основные свойства определителей 3-го порядка.

I. При замене строк столбцами величина определителя не меняется (равноправность строк а столбцов).

Это свойство может быть выражено так:

Справедливость этого свойства легко проверить, вычисляя определители, стоящие в левой и правой частях равенства, согласно схеме (17):

В самом деле, мы усматриваем, что в обоих случаях элементы, перечеркнутые сплошной чертой, как и элементы, перечеркнутые пунктиром, будут давать одни и те же произведения. Следовательно, в определителе строки вполне равноправны со столбцами, и все остальные свойства будут иметь место как по отношению к строкам, так и по отношению к столбцам.

II. При перестановке двух столбцов (или строк) определитель лишь меняет знак.

Так, например, переставляя первый и второй столбцы, получим:

Это свойство легко проверить, пользуясь схемой (17). Действительно, при перестановке двух столбцов элементы, перечеркнутые сплошной чертой, займут место элементов, перечеркнутых пунктиром, и обратно, что равносильно изменению знака определителя.

III. Определитель с двумя одинаковыми столбцами (или строками) равен нулю.

В самом деле, с одной стороны, при перестановке одинаковых столбцов определитель не изменяется; с другой же стороны, в силу свойства II он должен переменить знак, т. е. если через обозначим иеличину определителя, то откуда

Чтобы установить дальнейшие свойства определителей, введем предварительно некоторые новые понятия. Если из определителя

вычеркнуть одну строку и один столбец, на пересечении которых стоит некоторый элемент, то получится определитель 2-го порядка, который называется минором определителя , соответствующим этому элементу. Так, например, минором определителя А, соответствующим элементу будет определитель 2-го порядка Условимся называть алгебраическим дополнением А некоторого элемента а соответствующий ему минор, взятый со знаком или смотря по тому, будет ли сумма номеров строки и столбца, которым принадлежит данный элемент, четным или нечетным числом. Так, например, алгебраическое дополнение элемента будет

Располагая сумму, стоящую в правой части формулы (16), но элементам, например первого столбца, получим:

или

где А; есть алгебраическое дополнение элемента

Легко проверить, что аналогичная формула имеет место и по отношению к любому столбцу, а значит, и к любой строке. Итак, получаем разложение определителя по элементам некоторого ряда (строки или столбца):

где большими буквами обозначены алгебраические дополнения элементов, обозначенных малыми буквами.

Если в определителе заменим, например, элементы первого столбца элементами второго столбца то при замене алгебраические дополнения не содержащие элементов первого столбца, не изменятся, а потому, если в правой части первой формулы (18) вместо подставить элементы сумма будет равна определителю, у которого первый

и второй столбцы одинаковы, т. е. будет равна нулю:

Поступая аналогично, получим из первых трех формул (18) следующую группу формул:

а из последних трех:

Нанисанные формулы (18), (19) и (19) выражают следующее свойство определители:

IV. Сумма произведений элементов некоторого ряда (столбца или строки) на алгебраические дополнения этих элементов равна определителю, а сумма произведений элементов некоторого ряда (столбца или строки) на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда (столбца или строки) равна нулю.

V. Множитель, общий элементам некоторого ряда (столбца или строки), можно выносить за знак определителя.

VI. Определитель равен нулю, если все элементы некоторого его ряда (столбца или строки) равны нулю.

Последние два свойства непосредственно вытекают из формул (18), определяющих разложение определителя по элементам одного из его рядов. Столь же просто доказывается и следующее свойство.

VII. Если элементы некоторого ряда (столбца или строки) представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, у которых элементы рассматриваемого ряда равны соответственным слагаемым.

Это свойство, очевидно, распространяется на любое число слагаемых. Чтобы доказать это свойство, предположим, например, что

Подставляя эти выражения в первую из формул (18), получим:

Очевидно, представляет определитель, получающийся из определителя если в нем элементы первого столбца заменить через определитель же получится из определителя после замени элементов первого столбца на а,

VIII. Величина определителя не изменится, если к элементам некоторого ряда (столбца или строки) прибавить (или от них вычесть) элементы параллельного ряда (столбца или строки), предварительно умножив эти последние на один и тот же произвольном множитель I.

В самом деле, заменим элементы, например первой строки, соответственно через Вследствие последнего свойства полученный определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей. Первый из них будет иметь первую строку т. е. будет равен исходному определителю А Первая же строка второго определителя будет и, вынося I за знак определителя (V), получим определитель с двумя одинаковыми строками; следовательно, второй определитель равен пулю (VI); вся же сумма равна исходному определителю А.

Пользуясь свойством VIII, можно все элементы некоторого ряда, кроме одного, сделать равными нулю, не изменяя при этом величины определителя. Разлагая затем определитель по элементам этого ряда, приведем данный определитель 3-го порядка к одному определителю 2-го порядка. Действительно, пусть в определителе

элемент а, отличен от нуля. Вычтем из элементов второго столбца элементы первого столбца, умножив их предварительно на и из элементов третьего столбца — элементы первого столбца, умноженные на При таких преобразованиях в силу свойства VIII величина определителя не изменится, и мы получим;

Пример. Вычислить определитель

Вычитая из элементов второго столбца элементы первого, умноженные на 2, а из элементов третьего столбца — элементы первого столбца, умноженные на 5, получим:

Непосредственное вычисление данного определителя путем разложения его по элементам некоторого ряда потребовало бы несколько больших выкладок и сводилось бы к следующему. Применяя, например, первую из формул (18), получаем: