§ 5. Некоторые приложения формул преобразования координат.

1. Уравнение равносторонней гиперболы относительно асимптот.

Рассмотрим равностороннюю гиперболу, отнесенную к ее осям симметрии:

Асимптоты ее взаимно перпендикулярны (угловые коэффициенты асимптот равны ; см. гл. IV, § 4).

Принимая их за новые оси координат, мы должны повернуть старые оси координат на угол +45°. Формулы преобразования:

при a = - 45° (поворот по часовой стрелке) примут вид:

Подставляя эти значения х и у в уравнение гиперболы получим:

Раскрывая скобки и делая приведение подобных членов, получим:

Рис. 73.

Это и есть уравнение равносторонней гиперболы, когда осями координат служат ее асимптоты (рис. 73). Читателю рекомендуется проверить, что, выбирая угол поворота мы получим уравнение равносторонней гиперболы в виде:

2. Геометрический смысл дробно-линейной функции.

Дано уравнение

Требуется исследовать кривую, определяемую этим уравнением.

Будем считать , так как в случае наше уравнение будет, очевидно, уравнением прямой линии. Разделив числитель и знаменатель на с, придадим уравнению вид:

где положено:

Предварительно упростим уравнение кривой, перенеся начало координат в новую точку плоскости. Пусть координаты нового начала пока произвольны. Формулы преобразования суть:

Подставляя в данное уравнение вместо х и у их выражения через X и Y, найдем:

Раскрываем скобки и делаем приведение подобных членов.

Так как произвольны, то выберем их так, чтобы исчезли члены с и К. Для этого нужно положить откуда

Внося эти значения в преобразованное уравнение, получим:

Рис. 74.

Очевидно, полученное уравнение является уравнением равносторонней гиперболы, для которой новые оси координат являются асимптотами (см. предыдущий пример). Следовательно, данное уравнение определяет равностороннюю гиперболу с центром в точке асимптоты которой параллельны осям координат (рис. 74 соответствует случаю ).

3. Геометрический смысл квадратной функции.

Дано уравнение

Требуется исследовать кривую, определяемую этим уравнением.

Предварительно упростим уравнение кривой, перенеся начало координат в новую точку плоскости. Пусть коордииаты нового

начала пока произвольны. Формулы преобразования суть:

Подставляя в данное уравнение вместо х и у их выражения через X и Y, найдем:

Раскрываем скобки и делаем приведение подобных членов:

Подберем так, чтобы исчезли член с Х в первой степени и свободный член. Для этого нужно положить

откуда

Внося эти значения в преобразованное уравнение, получим:

Оченидно, что полученное уравнение определяет параболу, для которой новое начало координат является вершиной, а новая ось ординат служит осью симметрии. Следовательно, данное уравнение определяет параболу с вершиной в точке и осью симметрии, расположенной параллельно оси Оу (рис. 75).

Рис. 75.

Для нахождения ее вершины важно только обратить внимание на то, чтохв ордината же находится подстановкой значения в уравнение кривой.

Для построения кривой удобно найти ее точки пересечения с осью Ох (полагая если только эти точки существуют, т. е. если корни квадратного уравнения действительны. Заметим еще, что при ветви параболы направлены вверх, а при - вниз.

В приведенном исследовании мы считали в случае наше уравнение будет иметь вид:

и, значит, ему будет соответствовать прямая линия.

Пример. Принести уравнение параболы к простейшему виду и иайти координаты вершины.

Перенесем начало координат в точку Формулы преобразования будут:

Заменяя в данном уравнении х и у их выражениями через X и Y, получим:

или

Полагая

найдем:

Внося этизначения в уравнение, будем иметь:

откуда получим простейшее уравнение параболы

Ось симметрии данной параболы параллельна оси вершина находится в точке (1, — 4).