§ 11. Уравнение конического сечения в полярных координатах.
Задача настоящего параграфа — вывести уравнение конического сечения в полярных координатах, принимая за полюс один из фокусов и за полярную ось — фокальную ось этого конического сечения.
Рис. 59.
Рис. 60.
Пусть ABC (рис. 60) — дуга конического сечения (эллипса, гиперболы или параболы), В — вершина, F — фокус и DE — соответствующая директриса.
Примем точку F за полюс, а прямую BFP — за полярную ось, выбрав на ней направление от фокуса F в сторону, противоположную директрисе; обозначим эксцентриситет кривой через е. Пусть 
— точка дуги ВС конического сечения, лежащая на перпендикуляре к полярной оси, проходящем через полюс F. Обозначим длину 
через 
и будем называть ее фокальным параметром конического сечения.
Пусть 
— произвольная точка кривой. Составим уравнение, выражающее зависимость между ее полярными координатами 
данными числами 
. По общему свойству всех точек конического сечения имеем:
При любом расположении точки М на коническом сечении
Так как 
то 
Следовательно,
Тогда равенство (12) можно переписать в виде
откуда
Уравнение (14) будет определять эллипс, если 
параболу — при 
гиперболу, когда 
В уравнении (14) величина 
для параболы имеет, очевидно, прежнее значение, т. е. то же, что и в уравнении 
. В самом деле, для параболы 
т. е. 
есть расстояние фокуса до директрисы (параметр параболы).
Для эллипса и гиперболы можно поставить вопрос: как выразить фокальный параметр 
через полуоси a и b?
В случае эллипса 
мы подставим в его уравнение коордииаты одной из точек эллипса, а именно 
; после этого получим:
или
откуда
В случае гиперболы — 
координаты ее точки 
подставим в уравнение, после чего получим:
откуда снова имеем:
Итак, уравнения эллипса, гипербола и параболы, в полярных координатах (при указанном выборе полюса а полярной оси) имеют одинаковый вид:
причем для эллипса и гиперболы фокальный параметр 
связан с параметрами 
формулой
В случае гиперболы уравнение (14) выведено для одной ее ветви, 
легко убедиться в том, что ему также удовлетворяют координаты любой точки, расположенной на другой ветви гиперболы.
