§ 5. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку.

Пусть требуется найти уравнение плоскости, проходящей через точку заданную радиусом-вектором Возьмем любой вектор и и найдем уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к нему. Обозначим эту плоскость через Р (рис. 113).

Проведем радиус-вектор в любую точку М плоскости. Тогда вектор или как лежащий в плоскости Р, будет перпендикулярен к вектору п. Поэтому их скалярное произведение равно нулю

Это равенство есть условие того, что точка М лежит в плоскости Р.

Оно справедливо для всех точек этой плоскости и нарушается, как только точка М окажется вне плоскости Р.

Равенство (16) есть векторное уравнение плоскости Р.

Выражая скалярное произведение векторов через их проекции, получим уравнение той же плоскости в координатной форме

Как видно из вывода, вектор , а потому и его проекции А, В и С совершенно произвольны (но, конечно, мы исключаем случай так как ).

Изменяя значения А, В и С, мы будем получать различные плоскости, проходящие через данную точку Таким образом, уравнение (17) при любых значениях коэффициентов А, В и С выражает плоскость, проходящую через данную точку.

Рис. 113.

Замечание. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, можно вывести, не пользуясь векторным методом. Пусть нужно найти уравнение плоскости, проходящей через точку Возьмем искомое уравнение в виде

Так как по условию искомая плоскость проходит через точку то координаты этой точки должны удовлетворять этому уравнению. Отсюда получаем условие:

Вычитая это тождество из первоначального уравнения, получаем искомое уравнение:

где А, В и С произвольны. Изменяя любым способом их значения, мы будем получать разные плоскости. Но все они будут проходить через точку в чем легко убедиться также непосредственно подстановкой координат этой точки в уравнение (17). Оно будет обращаться в тождество независимо от значений коэффициентов.

Таким образом, уравнение (17) при любых значениях коэффициентов А, В и С (кроме случая выражает плоскость, проходящую через данную точку

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку .

Уравнение искомой плоскости будет: