ГЛАВА II. ЛИНИИ И ИХ УРАВНЕНИЯ

§ 1. Составление уравнений заданных линий.

В предыдущей главе было показано, что в декартовой системе координат каждой точке плоскости соответствует пара действительных чисел и, наоборот, каждой такой паре чисел соответствует определенная точка плоскости.

Теперь установим, что линиям на плоскости соответствуют уравнения с двумя переменными. Эта связь между линиями и уравнениями позволит свести изучение геометрических свойств линий к исследованию аналитических свойств соответствующих им уравнений.

В аналитической геометрии всякую линию рассматривают как геометрическое место точек. В определении линии как геометрического места точек содержится свойство, общее всем ее точкам. Так, например, окружность с центром в точке С и радиусом R можно рассматривать как геометрическое место точек плоскости, отстоящих от С на расстоянии R. Это значит, что для всякой точки М, лежащей на окружности, если же точка не лежит на окружности, то .

Возьмем на плоскости какую-нибудь линию, выберем в этой плоскости декартову систему координат и рассмотрим произвольную точку указанной линии. Если эта точка будет перемещаться по данной лииии, то ее координаты х и у будут меняться, оставаясь, однако, связанными некоторым условием, характеризующим точки линии. Таким образом, мы получаем некоторое соотношение между х и у, которое будет выполняться только при движении точки по лииии и нарушится, если точка сойдет с линии.

Следовательно, линии на плоскости соответствует некоторое уравнение с двумя переменными х и у. Такое уравнение между переменными х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на ней, называется уравнением данной линии. Входящие в это уравнение координаты х и у произвольной точки линии называются текущими координатами.

Рассмотрим несколько простейших примеров составления уравнений данных линий.

Пример 1. Найти уравнение прямой, делящей пополам отрезок между точками и перпендикулярной к нему.

Будем рассматривать эту прямую как геометрическое место точек, равноудаленных от точек А и В. Пусть — произвольная точка у казанной прямой. Равенство

выражает общее свойство всех точек этой прямой (если же М не будет лежать на данной прямой, то . Для составления уравнения прямой остается выразить расстояния AM и ВМ через координаты точки М и полученные выражения подставить в равенство (1). Тогда

Это уравнение и является уравнением данной прямой Возводя обе части его в квадрат, после упрощений получим:

Пример 2. Составить уравнение окружности радиуса

Выберем произвольно оси координат. Тогда центр С окружности будет иметь некоторые координаты а к b.

Рис. 27.

Обозначая через х и у координаты произвольной точки М окружности, выразим аналитически свойство, общее всем точкам М. Из определения окружности слрдует, что расстояние точки М от центра С окружности (рис. 27) есть величина постоянная, равная радиусу R, т. е.

Определяя СМ как расстояние между двумя точками С и М (гл. I, § 5), мы выразим равенство (2) с помощью текущих координат точки М:

Возвышая обе части последнего уравнения в квадрат, получим уравнение окружности в окончательном виде:

В этом уравнении постоянные a, b, R суть соответственно координаты центра и радиус окружности; переменные х и у являются координатами произвольной точки окружности. В частности, если начало координат выбрано в центре окружности, то и уравнение (3) принимает более простой вид: