§ 4. Общий случай.

Пусть даны две декартовы системы координат с разными началами и разными направлениями осей (рис. 72). Обозначим через а и b координаты нового начала О, по старой системе, через a — угол поворота координатных осей и, наконец, через х, у и X, У — координаты произвольной точки М соответственно по старой и новой системам.

Чтобы выразить х и у через X и Y, введем вспомогательную систему координат начало которой поместим в ионом начале , а направления осей возьмем совпадающими с направлениями старых осей. Пусть обозначают координаты точки относительна этой вспомогательной системы. Переходя от старой системы координат к вспомогательной, имеем (§ 2):

Рис. 72.

Переходя, далее, от вспомогательной системы координат к новой, найдем (§ 3):

Заменяя в предыдущих формулах их выражениями из последних формул, найдем окончательно:

Формулы (I) содержат как частный случай формулы §§ 2 и 3. Так, при формулы (I) обращаются в

а при имеем:

Из формул (I) мы получим новые коордииаты Х и Y выраженными через старые к у, если уравнения (I) разрешим относительно X и

Отметим весьма важное свойство формул (I): они линейны относительно X и К, т. е. вида:

Легко проверить, что новые координаты X и Y выразятся через старые х и у тоже формулами первой степени относительно