§ 8. Уравнение пучка плоскостей.

Пусть уравнения данной прямой суть:

Составим уравнение первой степени:

которое при любом значении постоянного К определяет плоскость.

Если точка лежит на данной прямой линии, то ее координаты одновременно удовлетворяют обоим уравнениям этой прямой и, следовательно, уравнению (15) при любом значении X. Таким образом, уравнение (15) определяет плоскости, проходящие через данную прямую. Обратно, всякая такая плоскость определяется одной точкой лежащей вне данной прямой линии; значение постоянного X, соответствующее этой плоскости, найдется из условия

если только Таким образом, уравнение (15) при соответствующем выборе X определяет любую плоскость, проходящую через данную прямую, за исключением лишь одной из данных плоскостей, именно плоскости

Называя пучком плоскостей совокупность всех плоскостей, проходящих через данную прямую, мы можем сказать, что уравнение (15) является уравнением пучка плоскостей, так как оно определиет все плоскости пучка (кроме второй из данных плоскостей).

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

и точку (1, 1, — 1).

Уравнение любой плоскости, проходящей через данную прямую, имеет вид:

Условие прохождения этой плоскости через точку (1, 1, — 1) дает:

Подставляя это значение к в уравнение пучка плоскостей, получим;

или