§ 4. Вычисление угла между двумя осями в пространстве.

Рассмотрим некоторую ось l в пространстве, и пусть а, (3, у суть углы, которые она образует с осями координат (рис. 92).

Числа назовем направляющими косинусами этой оси. Направляющие косинусы не независимы между собой, они связаны одним соотношением. Чтобы получить это соотношение, проведем через начало координат отрезок ОМ, длина которого равна единице, а направление совпадает с положительным направлением оси l. Проекции этого отрезка на оси координат (они, очевидно, являются координатами точки М) будут . По формуле (5) расстоянии точки от начала координат имеем:

т. е. сумма квадратов направляющих косинусов любой оси равна 1.

Найдем выражение для косинуса угла между двумя осями. Рассмотрим две оси проходящие через начало координат (рис. 93); пусть — углы, которые образует ось с координатными осями, и — углы оси с координатными осями.

Рис. 92.

Рис. 93.

Возьмем на оси точку М на расстоянии ОМ, рапном 1, от начала координат (координаты точки М суть ) и спроектируем координатную ломаную OPSM точки М на ось Так как проекция ломаной равна проекции замыкающего отрезка, то . С другой стороны, проекция ломаной равна сумме проекций ее звеньев, т. е.

или, что то же самое:

Так как

то

В частности, если оси перпепдикулярны, формула (16) дает условие перпендикулярности двух осей

Замечание. Мы говорили о направляющих косинусах оси. В случае, когда речь будет идти о направляющих косинусах прямой, мы будем понимать под ними направляющие косинусы той оси, которая получится, если на данной прямой выбрать за положительное то или иное из двух возможных направлений. Очевидно, при замене шлбраннох о положительного направления прямой противоположным ему знаки направляющих косинусов изменятся.