§ 4. Умножение вектора на число.

Складывая несколько разных векторов, т. е. повторяя вектор слагаемым несколько раз, мы приходим к умножению его на положительное целое число. Согласно определению

где есть число слагаемых векторов, равных А. Очевидно, произведение будет вектором того же направления, что и множимое А, только длина вектора будет больше длины вектора А в раз.

Введем теперь понятие деления вектора на целое положительное число. Согласно определению

если Отсюда вытекает, что оба вектора А и В имеют одно направление, по длина А вектора А в раз больше длины В вектора В. Таким образом, при делении вектора на целое положительное число направление его не меняется, а длина уменьшается в раз.

После этого можно определить умножение вектора на положительную дробь что значит умножить на и разделить на а также умножение вектора на иррациональное положительное число К. Во всех случаях направление вектора остается без изменении, длина же умножается на . Наконец, если множитель А, — число отрицательное, то условимся считать, что длина вектора умножается на а направление меняется на противоположное.

В частности, при умножении вектора А на — 1 мы получаем вектор имеющий ту же длину, но направленный в противоположную сторону, т. е. вектор, противоположный вектору А.

Такой вектор по условию предыдущего параграфа обозначается через — А. Следовательно, , причем

Итак, установлено умножение вектора на любое действительное число: при умножении вектора А на число X длина вектора умножается на а направление сохраняется прежним при

и заменяется противоположным при произведение А на является нулевым вектором). Произведение А на мы будем обычно записывать в форме . По отношению к этому умножению имеет место распределительный закон, который символически можно записать так:

В справедливости этого равенства мы убедимся, если заметим, что от умножения на число А меняются только размеры векторов, т. е. масштаб чертежа; фигуры остаются подобными. Поэтому, так как векторы и образуют стороны и диагональ параллелограмма, то, умножив все члены на А, т. е. изменив лишь размеры векторов одинаковым образом, мы получим снова параллелограмм, а значит, сохранится равенство

Последнее же равенство и выражает собой распределительный закон умножения, если заменить в нем С через Отметим еще, что из определения умножения вектора на число вытекает справедли вость равенств

и

где — числа.

Будем обозначать одноименной буквой с ноликом вверху вектор длины, равной 1, и того же направления, как и данный вектор (вектор, длина которого равна 1, называется единичным). Тогда из определения умножения вектора на число следует:

В самом деле, при умножении вектора на число А направление вектора не изменится, а длина сделается равной А, т. е. мы получим как раз вектор А.