ГЛАВА III. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Уравнение поверхности.

В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как геометрическое место точек. В таком определении поверхности содержится свойство, общее всем ее точкам. Обозначая через х, у, z координаты произвольной точки данной поверхности относительно некоторой прямоугольной системы координат, мы выражаем посредством уравнения между свойство, общее всем точкам поверхности и только им. Таким образом составляется уравнение между переменными х, у и z, которому удовлетворяют координаты произвольной точки данной поверхности и только они одни. Это уравнение называют уравнением поверхности, входящие в него координаты х, у и z — текущими координатами.

Получается возможность свести изучение геометрических свойств поверхности к изучению аналитических свойств соответствующего ей уравнения.

Рассмотрим несколько простейших примеров составления уравнений заданных поверхностей.

Пример 1. Найти уравнение плоскости, делящей пополам отрезок между точками и и перпендикулярной к нему.

Очевидно, эта плоскость есть геометрическое место точек, равноудаленных от А и В.

Возьмем на ней произвольную точку . Тогда по формуле расстояния между двумя точками будем иметь:

Приравнивая эти расстояния, получим:

Отсюда после возведения обеих частей равенства в квадрат и упрощений окончательно:

Это и есть уравнение данной плоскости.

Пример 2. Найти уравнение плоскости, делящей пополам двугранный угол между координатными плоскостями XOZ и YOZ и проходящей через первый октант.

Ясно, что данная плоскость является геометрическим местом точек, равноудаленных от координатных плоскостей XOZ и YOZ. Следовательно, для каждой точки этой плоскости имеет место равенство

Кроме того, легко усмотреть, что обе эти координаты любой точки данной плоскости имеют одинаковые знаки (р первом и пятом октантах положительные, а в третьем и седьмом — отрицательные). Поэтому у каждой ее точки абсцисса равна ординате

Это и есть уравнение данной плоскости.

Совершенно аналогично выводится и уравнение плоскости, делящей пополам другой двугранный угол между теми, же координатными плоскостями XOZ и YOZ и проходящей через второй октант. Разница лишь в том, абсцисса и ордината любой точки этой плоскости, будучи равными по абсолютной величине, противоположны по знаку. Поэтому уравнение ее имеет вид:

Пример 3. Найти уравнение координатной плоскости YOZ. Очевидно, эта плоскость есть геометрическое место точек, абсциссы которых равны нулю. Поэтому уравнением ее будет Аналогично уравнение плоскости XOZ имеет вид

Пр и мер 4. Найти уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости XOY и отстоящей от нее на расстоянии с в сторону положительных значений .

Данная плоскость есть геометрическое место точек, аппликаты которых равны с. Поэтому уравнение ее имеет вид .

Пример 5. Найти уравнение сферы, центр которой лежит в точке , а радиус равен

Обозначая через координаты произвольной точки М сферы, выразим аналитически свойство, общее всем точкам М. Из определения сферы следует, что расстояние точки М до центра С есть величина постоянная, равная радиусу R, т. е.

Определим СМ как расстояние между двумя точками С и М (ч. 2, гл. I, § 2), мы выразим равенство (1) с помощью текущих координат точки М:

Возвышая обе части последнего уравнения в квадрат, освободимся от радикала и получим уравнение сферы в окончательном виде:

В этом уравнении постоянные а, b, с и R суть соответственно координаты центра и радиус сферы, переменные являются координатами произвольной точки сферы. В частности, если центр сферы находится в начале координат, то и уравнение (2) принимает более простой вид: