§ 10. Направление вектора.
Согласно определению скалярного произведения векторов имеем:
где 
есть угол между векторами А и В. Из этой формулы получаем:
т. е. косинус угла между векторами равен их скалярному произведению, деленному на произведение длин.
Выражая числитель и знаменатель последней дроби посредством проекций векторов (§ 9, формулы (15) и (16)), находим:
В частности, полагая в формулах (17) и 
и замечая, что в этом случае 
находим:
или
где а есть угол оси Ох с вектором А. Аналогично, взяв 
, получим:
пли в координатной форме:
Последние формулы дают возможность определить направляющие косинусы вектора (т. е. косинусы углов между осями координат
и вектором) по его проекциям. Далее,
где 
суть углы осей координат с вектором 
— углы тех же осей с вектором 
Последняя формула (20) совпадает с формулой (16) § 4 гл. 1.
Для иллюстрации изложенных результатов рассмотрим ряд примеров.
Пример 1. Какому условию должны удовлетворять три вектора а, b, с, чтобы из них можно было образовать треугольник, совмещая начало каждого вектора с концом одного из двух других векторов?
Очевидно, необходимым и достаточным условием для этого является то, чтобы сумма векторов а, b и с равнялась нулю:
Пример 2. Доказать, что возможно построить треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам данного треугольника ABC.
Рис. 101.
Обозначая середины сторон треугольника ABC (рис. 101) через 
выразим векторы, представляющие медианы треугольника, т. е. АА и ВВ, и 
через векторы а, b, с. Легко видеть из черт. 109, что
так как
Аналогично найдем:
Остается проверить условие примера 1, достаточное для того, чтобы из векторов 
, можно было образовать треугольник:
Так как условие примера 1 выполняется, то из векторов 
и 
, действительно можно составить треугольник.
Пример 3. На точку действуют три силы, проекции которых на прямоугольные оси равны
Найти величину 
направление равнодействующей.
Обозначая через X, Y, Z проекции равнодействующей, имеем:
Следовательно, величина R равнодействующей R будет:
а ее направление определяется по формулам
Пример 4. Найти угол между векторами 
По формуле (17) получим:
Пример 5. Дан треугольник 
. Тогда 
Вычисляя скалярный квадрат вектора АВ, получим:
или
Обозначая через 
внутренний угол треугольника ОАВ при вершине О, последней формуле придадим обычный вид:
так как
Рис. 102.
