проекции векторного произведения А X В. Согласно формуле (30) эти проекции будут:
Зная теперь проекции первого сомножителя 
и проекции 
второго сомножителя С, найдем но формуле (15) их скалярное произведение:
Но правая часть этого равенства есть не что иное, как разложение определителя третьего порядка
по элементам последней горизонтали. Итак, окончательно мы будем иметь:
т. е. векторно-скалярное произведение трех векторов, заданных своими проекциями, равно определителю 3-го порядка, составленному из этих проекций. При этом следует помнить, что в 1-й, 2-й и 3-й строках определителя пишутся в обычном порядке проекции 1-го, 2-го и 3-го из перемножаемых векторов. Пользуясь формулой (36), мы видим, что условие (35), необходимое и достаточное для компланарности векторов 
запишется в виде:
Пример 1. Вычислить (ABC), если 
. Пользуясь формулой (36), находим:
Пример 2. Вывести условие того, чтобы четыре точки 
лежали в одной плоскости.
Искомое условие равносильно условию компланарности векторов 
и, гледовательно, согласно формуле (37) может быть записано в виде:
Пример 3. При тех же обозначениях, что и в примере 2, объем V треугольной пирамиды ABCD выражается формулой
В самом деле, согласно примеру 1 из § 14 мы имеем:
Так как векторы АВ, AC, AD имеют соответственно проекции 
то находим:
где знак берется одинаковый со знаком определителя.
проекции вектора А, через 
проекции 
и через 
проекции вектора С, найдем сначала
