§ 7. Двуполостный гиперболоид.
Двуполостный гиперболоид вращения мы получим, если гиперболу
будем вращать вокруг оси 
Его уравнение будет (гл. VI, § 4):
Пересекая его плоскостью 
, перпендикулярной к оси вращения 
получим в сечении окружность, уравнения которой будут
и радиус которой равен 
При изменении h от с до 
окружность (17) описывает одну полость гиперболоида, а при изменении h от —с до 
окружность (17) описывает другую его полость.
Возьмем вместо окружности (17) эллине
лежащий в плоскости 
параллельной плоскости 
полуоси которого суть: 
(20)
При изменении h от 
до —с и от +с до 
этот эллипс описывает двуполостную поверхность, уравнение которой получим, исключив h из двух уравнений (19):
Поверхность 
порядка, определяемая уравнением (111), называется двуполостным гиперболоидом, а величины а, b, с — его полуосями. Пересекая эту поверхность плоскостями координат 
мы получим в сечении соответственно мнимое место и две гиперболы:
Как было выше сказано, в сечении двуполостного гиперболоида плоскостью z — h, параллельной плоскости 
получается эллипс (19) с полуосями (20), когда 
Отсюда вытекает, что дауполостный гиперболоид мы можем рассматривать как поверхность, образованную движущимся эллипсом (плоскость его остается параллельной плоскости хОу), который при движении остается себе подобным и концы осей которого скользят но гиперболам (21) и плоскостях xOz и yOz (рис. 122). Поверхность симметрична относительно начала координат, а плоскости координат суть ее плоскости симметрии.
Рис. 122.
При 
уравнение (III) определяет двуполостный гиперболоид вращения с осью вращения 
