§ 9. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

Пусть даны точка и угловой коэффициент определяющий направление прямой линии, проходящей через точку А. Уравнение этой прямой будем искать в виде

неизвестное b должно быть определено из условия прохождения прямой через точку Так как точка лежит на данной прямой, то координаты ее должны удовлетворять уравнению (12). Подставляя в уравнение (12) вместо текущих координат координаты получим:

Из условия (13) нужно определить b и подставить найденное значение в уравнение (12). Другими словами, нужно исключить b из уравнения (12) и равенства (13), что мы сделаем, вычитая (13) из (12); таким образом, получим уравнение прямой линии, проходящей через точку ) и имеющей направление, определяемое угловым коэффициентом

Ясно, что в форме (14) может быть записано уравнение всякой прямой, не параллельной оси Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно оси Оу, будет иметь вид (гл. III, § 2):

Замечание. Совокупность всех прямых, проходящих через некоторую точку плоскости, называется пучком прямых, а общая их точка — центром пучка.

Если в уравнении (14) под k будем понимать величину, принимающую всевозможные числовые значения, то это уравнение будет определять совокупность прямых, проходящих через точку ), т. е. пучок прямых с центром в точке [в форме (14) можно записать уравнение любой из прямых пучка, кроме одной — параллельной оси Оу].

Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и наклоненной к оси Ох под углом в 135°.

Уравнение прямой можно записать в форме (14). Здесь

Следовательно, искомое уравнение будет

или

Пример 2 Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку (1, 2) параллельно прямой

Угловой коэффициент k прямой линии, для которой нужно составить уравнение, равен угловому коэффициенту данной прямой в силу условия параллельности этнх прямых. Таким образом, полагая в уравнении (14) , получим искомое уравнение:

или, умножая на 3,

откуда окончательно находим:

Пример 3. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку перпендикулярно к прямой

Искомый угловой коэффициент обозначим через угловой коэффициент данной прямой как видно из ее уравнения, равен 3. Условие перпендикулярности нам дает

Таким образом, искомое уравнение

и окончательно

Пример 4. Написать уразнение прямой, проходящей через точку (2, — 1) и составляющей угол в 45° с прямой

Угловой коэффициент прямой, для которой требуется составить уравнение, будем искать по формуле (9) (§ 7)

Так как в условии задачи не сказано, от какой из прямых следует вести отсчет угла, то поставленная задача имеет два решения.

Для получения одного из них в формуле (9) будем считать коэффициент данной прямой), — искомый угловой коэффициент. Тогда будем иметь.

откуда и искомое уравнение

или (после упрощений)

Другое решение мы получим, положив в формуле и находя Будем иметь искомое уравнение

или

Заметим, что поскольку каждая из найденных прямых составляет с данной прямой угол 45°, то между собой они должны быть перпендикулярны; действителыю, угловые коэффициенты этих прямых равны