§ 3. Основные положения теории проекций в пространстве.

Предварительно мы уточиим понятие угла между двумя осями в пространстве.

Рассмотрим две оси пересекающиеся в точке S. Угол между ними условимся понимать как угол, на который нужно повернуть одну из них вокруг точки S, чтобы ее положительное направление совпало с положительным направлением другой оси (поворот производится в плоскости, определяемой осями).

Угол условимся брать лишь в границах от 0 до , не различая порядка, в котором указаны оси (если нет особых указаний). Поэтому угол между осями будем обозначать или или .

Заметим, что угол между двумя осями на плоскости мы брали со знаком (знак выбирался в зависимости от направления поворота: по или против движения стрелки часов). Однако в пространстве направление попорота от одной из осей до другой зависит от того, с какой стороны мы будем смотреть на плоскость, определяемую данными пересекающимися прямыми. Поэтому в пространстве мы условились не различать порядок, в котором заданы оси, и угол брать в границах от 0 до .

Мы предполагали, что данные оси имеют общую точку.

Рассмотрим теперь две непересекающиеся оси (рис. 88); выберем произвольную точку S пространства и проведем через нее две оси и 4, соответственно параллельные осям и одинаково с ними направленные; углом между непересекающимися осями мы будем считать угол между осями

Угол между осью и направленным отрезком в пространстве условимся понимать как угол между этой осью и осью, положительное направление которой совпадает с направлением данного отрезка.

Аналогично углом между двумя направленными отрезками будем считать угол между осями, положительные направления которых совпадают соответственно с направлениями данных отрезков.

Рис. 88.

Рис. 89.

Рис. 90.

Основные положения теории проекций (ч. 1, гл. I, § 8) легко переносятся на пространство. Как уже было сказано, проекцией точки М пространства на ось называется точка , получаемая в пересечении оси с перпендикулярной к ней плоскостью, проходящей через точку Определение проекции направленного отрезка на ось остается тем же, что и на плоскости: (рис. 90),

Как и в случае плоскости, проекция направленного отрезка АВ на ось l равна произведению длины АВ проектируемого отрезка на косинус угла а между осью проекций и данным отрезком:

    (13)

Рис. 91.

Для доказательства этой формулы и случае пространства проведем через начало А отрезка АВ вспомогательную ось (рис. 90), параллельную оси и имеющую то положительное направление. Очевидно, пр АВ, а угол а между осью l и отрезком АВ равен углу между осью V и этим отрезком. Теперь можно воспользоваться справедливостью доказываемой формулы при расположении направленного отрезка и оси Г в одной плоскости. Остается еще заметить, что хотя угол а между осью и отрезком на плоскости мы брали со знаком или а также допускали значения угла, большие по абсолютной величине, чем но всегда можно выбрать этот угол по абсолютной величине не превосходящим я; кроме того, можно заменить угол в формуле (13) его абсолютной величиной, что не влияет на значение косинуса. Таким образом, угол в этой формуле достаточно брать в границах от 0 до , что находится в соответствии с определением угла для пространственного случая.

Так же легко проверить, что если рассматриваемый направленный отрезок АВ расположен на некоторой оси то его проекция на ось случае пространства будет равна произведению величины отрезка на косинус угла между осями I и и:

Определение направленной ломаной и ее проекции на ось остается таким же, как и для плоскости. На рис. Как и раньше, проекция ломаной равна сумме проекций ее звеньев. Проекция ломаной не зависит от ее формы, а зависит лишь от положения начальной и конечной точек. Проекция ломаной равна проекции ее замыкающего отрезка. Проекция замкнутой ломаной равна нулю.